Нормирование элементов и частоты

В синтезе электрических цепей часто прибегают к нормированию элементов и частоты. Нормирование частоты уже встречалось ранее, когда рассматривались частотные характеристики колебательных контуров (гл. 4). Целесообразность применения нормирования ясна из следующего примера. Пусть необходимо рассчитать частотную характеристику сопротивления последовательного RLC-контура с параметрами элементов L = 10^–5 Гн, С = 10^–9 Ф, R = = 5 Ом. Данный контур имеет добротность Q = 20, характеристическое сопротивление   = 100 Ом и резонансную частоту  _р =  10⁷ с^–1. При расчете сопротивления данного контура приходится оперировать с величинами от 10^–9 до 10⁷, что не всегда удобно. Выполним нормирование сопротивлений и частоты. Для этого запишем выражение сопротивления данного контура:

Разделим левую и правую часть равенства на некоторое нормирующее значение сопротивления R_н, а второе и третье слагаемое умножим и разделим на некоторое нормирующее значение частоты  _н:

Введем следующие названия и обозначения:

 – нормированное комплексное сопротивление,

 – нормированная частота

   (16.8)

– нормированная индуктивность;

   (16.9)

– нормированная емкость;

   (16.10)

– нормированное резистивное сопротивление.

Величины  _н и R_н, вообще говоря, можно выбирать произвольно. В данном случае удобно положить  _н =  _р и R_н =  . Тогда параметры нормированных элементов принимают следующие значения:

Выполнение расчетов с такими числовыми значениями удобней, чем с ненормированными величинами.

Существует вторая, более важная причина, по которой применяют нормирование. Она проявляется в синтезе цепей. Допустим, что в результате сложных процедур получена некоторая цепь с нормированными значениями элементов. Истинные значения элементов определяются из формул (16.8)—(16.10) следующим образом:

   (16.11)

   (16.12)

   (16.13)

Изменяя  _н и R_н можно без выполнения сложных процедур получить схемы устройств, работающих в различных диапазонах частот и при различных нагрузках. Введение нормирования позволило создать каталоги фильтров, что во многих случаях сводит сложную проблему синтеза фильтра к элементарным действиям.

Чувствительность характеристик электрических цепей Предположим, что каким-то образом синтезирован четырехполюсник. Его характеристики (частотные, или временные) выражаются через его элементы. Например, на рис. 16.2 показана простейшая схема фильтра.

Рис. 16.2	Рис. 16.3

Его операторная передаточная функция имеет вид    (16.14)

Квадрат модуля передаточной функции

Как видно, характеристики цепи зависят от параметров ее элементов. В процессе производства и эксплуатации радиоэлектронных устройств значения параметров элементов неизбежно отличаются от расчетных значений, что приводит к изменению их характеристик. Изменения характеристик должны быть такими, при которых работа устройства не нарушается. Поэтому, чем меньше изменения характеристик при одном и том же отклонении величин параметров элементов, тем лучше это устройство. Для оценки влияния изменений характеристик устройств к изменению параметров элементов вводится понятие чувствительности. Пусть х_i i-й элемент (параметр) цепи, а F(х_i) – характеристика, зависящая от этого элемента. Чувствительностью некоторой характеристики F(х_i) к изменению некоторого параметра х_i называется предел отношения относительного изменения функции к относительному изменению параметра:

Например, чувствительность АЧХ цепи |H(j )| к изменению какого-либо параметра цепи x_i имеет вид

Кроме чувствительности временных и частотных характеристик в теории цепей рассматриваются также чувствительность полюса и добротности полюса к изменению (параметров) элементов. Для операторной передаточной функции (16.14) полюсы определяются выражением

Здесь предполагается, что полюсы являются комплексно-сопряженными числами. На рис. 16.3 показано положение этих полюсов на комплексной плоскости.

Добротностью полюса называют отношение его модуля (расстояние от полюса до начала координат) к удвоенной вещественной части:

Интересно, что добротность полюса совпадает с добротностью контура на резонансной частоте (см. (4.25)). В предельных случаях, когда полюс находится на мнимой оси, то Q =  , а когда на вещественной оси – Q = 0,5.

Чувствительность k-го полюса определяется как где p_k – полюс передаточной функции цепи. Эта чувствительность показывает приращение полюса при изменении параметров элементов цепи. В данном случае S – это не функция, а комплексное число.

Чувствительность добротности полюса вычисляется по формуле

Исследование чувствительности при синтезе цепей помогает создать цепь, характеристики которой наименее подвержены воздействию различных дестабилизирующих факторов (например, температуры, влажности, старения элементов и др.).

Задача аппроксимации в синтезе электрических цепей Аппроксимация функций является одним из разделов математики и широко используется в различных областях знаний. В § 10.2 мы сталкивались с аппроксимацией ВАХ нелинейных элементов. И в данном случае подход к решению задачи остается прежним. Прежде всего это касается критериев близости функций. Напомним, что наиболее распространенными являются два критерия. Во-первых, это среднеквадратический критерий, когда минимизируется интеграл от квадрата модуля разности функций. Другим критерием является минимаксный критерий, когда минимизируется максимум модуля разности двух функций. Если достигается такой минимум, то говорят, что аппроксимация выполнена по Чебышеву или оптимально равномерно. Однако в решении задачи аппроксимации при синтезе цепей имеются и отличия. Во-первых, существуют ограничения на вид аппроксимирующих функций и, во-вторых, должны контролироваться УФР.

Действительно, если выполняется аппроксимация квадрата модуля передаточной функции, то в качестве аппроксимирующей необходимо выбрать дробно-рациональную функцию, которая представляет собой отношение двух четных полиномов с вещественными коэффициентами. При этом степень полинома числителя не должна превышать степени полинома знаменателя и свободный член полинома знаменателя не может равняться нулю. Таким выбором аппроксимирующей функции удовлетворяются первые два УФР квадрата модуля передаточной функции. Третье условие должно контролироваться в процессе решения аппроксимационной задачи.

Когда рассматриваются временные характеристики, то выбор аппроксимирующей функции осуществляется в соответствии с выражениями (16.7).

Методы аппроксимации. Обозначим заданную функцию  (х). Как уже говорилось, это может быть: АЧХ |H(j )| или ее квадрат |H(j )|²; ФЧХ  ( ) или ее тангенс D = tg ( ); характеристика группового времени прохождения (ГВП) t_гр( ) = d  ( )/d  ; импульсная характеристика h(t); переходная характеристика g(t) и т. д.

В качестве аппроксимирующей функции выбирают соответствующую частотную или временнyю функцию цепи F(x). Например, если задан квадрат АЧХ, т. е.  (х) = |H(j )|², то функция цепи, аппроксимирующая заданную, ищется в общем случае в виде где подлежат определению значения коэффициентов c₀, ..., c_n, d₀, ..., d_m.

Для заданной переходной функции  (х) = g(t) аппроксимирующая функция может описываться выражением , где в результате аппроксимации определяются значения коэффициентов А_k и корней характеристического уравнения p_k = a_k   j _k и т. д.

Из рассмотренных примеров видно, что аппроксимирующая функция F(x) зависит от некоторых параметров цепи (в первом случае от c₀, ..., c_n, d₀, ..., d_m, во втором – от A_k и p_k и др.). Обозначим параметры цепи в общем виде буквами a₁, a₂, ..., a_N, т. е. F(x) = F(x, a₁, a₂, ..., a_N). Решением задачи аппроксимации считается нахождение наилучших значений коэффициентов a₁, a₂, ..., a_N, при которых функция F(x) будет наиболее “близка” к функции  (х).

Различные аппроксимации (приближения одной функции к другой) отличаются, прежде всего, понятиями “близости” двух функций. Наиболее широкое распространение в радиотехнике и связи получили такие методы аппроксимации, как интерполяция, приближение по Тейлору, приближение по Чебышеву, среднеквадратическое приближение.

При приближении функции F(x) и  (х) методом интерполяции наилучшей “близостью” этих функций считается совпадение их значений в выбранных точках – узлах интерполяции – x₁, x₂, ..., x_N, т. е.

Решение этой системы уравнений позволяет найти искомые значения коэффициентов a₁, a₂, ..., a_N.

Решение задачи аппроксимации данным методом (см. § 10.2) имеет следующие недостатки: 1. Отсутствует процедура выбора точек интерполяции и первоначального порядка функции и поэтому время, необходимое для отыскания оптимального решения, зависит от квалификации и интуиции разработчика. 2. В процессе решения не контролируются УФР.

Несмотря на отмеченные недостатки, метод интерполяции применяется довольно широко на практике, например, при синтезе амплитудных корректоров.

Данный метод аппроксимации применяется довольно часто ввиду его простоты, однако он не гарантирует получения физически реализуемой функции F(x).

Приближение функций по Тейлору предполагает, что наилучшая “близость” F(x) и  (х) достигается при совпадении в выбранной точке x₀ значений самих функций и их (N— 1) производных. Таким образом,

В основе этой системы уравнений лежит разложение функций F(x) и  (х) в ряды Тейлора и приравнивание первых N коэффициентов соответствующих рядов. Приближение по Тейлору нашло применение, в частности, при синтезе электрических фильтров. По имени автора, впервые предложившего такой вид аппроксимации в теории фильтров, она называется аппроксимацией по Баттерворту (см. § 7.2).

Наилучшее приближение функции F(x) к  (х) при аппроксимации по Чебышеву определяется из условия

Этот критерий “близости” функций следует понимать так: коэффициенты a₁, a₂, ..., a_N функции F(x) должны быть выбраны такими, чтобы самое наибольшее отклонение F(x) от  (х) в любой точке храссматриваемого диапазона сделать минимально возможным.

Задача чебышевских приближений решена аналитически для электрических фильтров (см. § 17.2).

При использовании Чебышевского критерия близости полезной является теорема Чебышева, которая формулируется следующим образом.

Теорема Чебышева. Если рациональная функция F(x, a₁, a₂, ..., a_N) с n коэффициентами аппроксимирует вещественную функцию на данном интервале по Чебышеву, то все максимумы отклонения равны между собой, а также равны величинам отклонений на границах интервала и достигаются не менее, чем в N + 1 точках, причем знаки отклонений чередуются.

Эта теорема отвечает на вопрос: данная аппроксимация выполнена оптимально или нет.

При среднеквадратическом приближении наилучшая “близость” двух функций достигается при выполнении условия т.е. при таких значениях коэффициентов a₁, a₂, ..., a_N, при которых сумма квадратов отклонений F(x) от  (х) в точках x₁, x₂, ..., x_M (M > N) является минимально возможной.

М инимизация достигается путем составления и решения системы алгебраических уравнений:

Отметим, что заданная и аппроксимирующие функции могут быть не только вещественными, но и комплексными, что позволяет одновременно аппроксимировать как АЧХ, так и ФЧХ.

При решении задач среднеквадратических приближений разработано большое количество численных методов, предназначенных для использования их на ЭВМ.

Заметим, что не существует четких рекомендаций по применению того или иного метода аппроксимации. Зачастую выбор метода зависит от сложности решения задачи аппроксимации (аналитического или численного), от конкретного применения синтезированной цепи и т. п.