§ 2. Прямой обратимый цикл карно

В 1824 г. С. Карно предложил цикл, которому было присвоено его имя. Прямой обратимый (то есть состоящий только из равновесных, обратимых процессов) цикл Карно является идеальным циклом тепловых двигателей и осуществляется при наличии горячего источника постоянной температуры Т₁ и холодного источника постоянной температуры Т₂.

Цикл состоит из двух изотермических и двух адиабатных процессов. Его графическое изображение в - и Ts-диаграммах приведено на рисунке 9, а, б. В качестве рабочего тела в цикле Карно используется 1 кг идеального газа. Из начального состояния 1 газ расширяется по изотерме 1-2 при температуре Т₁, получая от горячего источника теплоту q₁, которая полностью переходит в работу расширения (66):

q₁ = RT₁ ln ₂ / ₁. (87)

В точке 2 рабочее тело отключается от горячего источника и расширяется по адиабате 2-3, совершая работу за счет внутренней энергии. В связи с этим температура газа понижается от Т₁ в точке 2 до Т₂ в точке 3.

Рис. 9. Цикл Карно в  (а)- и Ts (б)-диаграммах.

По уравнению (75) эта работа равна:

ℓ_2-3 = с_ (Т₁ – Т₂). (88)

В точке 3 газ сообщается с холодным источником и сжимается по изотерме 3-4, отдавая теплоту q₂ (66), равную работе, затраченной на сжатие, при постоянной температуре T₂:

q₂ = – RT₂ ln ₃ / ₄. (89)

В точке 4 рабочее тело отключается от холодного источника, и газ адиабатным сжатием по 4-1 возвращается в начальное состояние, при этом температура газа повышается от T₂ до T₁:

ℓ_4-1 = – u_4-1 = – с_ (Т₁ – Т₂). (90)

Из уравнения (88) и (90) следует, что в цикле Карно работа адиабатных процессов расширения и сжатия равна по абсолютной величине и обратна по знаку. Поэтому величины работ расширения ℓ_2-3 и сжатия ℓ_4-1 на результирующую работу цикла влияния не оказывают.

Для определения величины термического КПД цикла Карно воспользуется формулой (86) и изображением цикла Карно (см. рис. 9, б) в Ts-диаграмме:

_t = 1 – q₂/q₁.

Из Ts-диаграммы цикла Карно (рис. 9, б) имеем:

q₁ = пл. 1 2 2 3 4 1 = T₁ (s₂ – s₁); (91)

q₂ = пл. 3 3 4 4 3 = T₂ (s₃ – s₄) (92)

Но для адиабатных процессов 2-3 и 4-1 получаем, что s₁ – s₄, а s₂ – s₃:

s₃ – s₄ = s₂ – s₁. (93)

Следовательно,

(94)

Полученное уравнение позволяет сделать следующие выводы.

1. Термический КПД цикла Карно зависит только от абсолютных температур горячего источника T₁ и холодного источника T₂.

2. Термический КПД тем выше, чем выше температура горячего источника и чем ниже температура холодного источника.

3. Так как температура холодного источника T₂ всегда положительна, _t цикла Карно всегда меньше единицы. Это значит, что теплоту q₁, подводимую к рабочему телу, невозможно полностью превратить в работу – часть ее в количестве q₂ отдается холодному источнику.

4. В уравнении (94) видно, что термический КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела (газа).

При помощи Ts-диаграммы несложно доказать еще одно важное свойство цикла Карно: в заданном интервале температур T₁ и T₂ термический КПД цикла Карно имеет наибольшее значение по сравнению с любым другим произвольным циклом – это позволяет считать его эталоном.

На рисунке 9 показаны произвольный цикл (a, b, c, d) и цикл Карно (1, 2, 3, 4), протекающие в интервале температур T₁ и T₂. Оба цикла прямые и обратимые.

Из общего уравнения термического КПД _t = 1 – q₂/q₁ следует, что термический КПД будет тем больше, чем меньше отношение q₂/q₁. Из Ts-диаграммы видно, что в цикле Карно

(q₂/q₁)_Карно =

а для произвольного цикла

(q₂/q₁)_{произв.} =

Из сравнения указанных площадей видно, что

(q₂/q₁)_Карно  (q₂/q₁)_{произв.}

_{t Карно}  _{t произв.}