Тема 5: Методы измерения и изучения устойчивости временного ряда.

Категорию устойчивости рассматривают с двух позиций:

• устойчивость уровней ряда;

• устойчивость тренда.

Согласно статистической теории, статистический показатель содержит в себе элементы необходимого и случайного. Необходимость проявляется в форме тенденции временных рядов, а случайность в форме колебаний уровней относительно тренда. Тенденцией характеризуется процесс эволюции.

Расчленение временных рядов на составляющие элементы – условный описательный прием. Тем не менее, решающим фактором, обусловливающим тенденцию является целенаправленная деятельность человека, а главной причиной колеблемости – изменение условий жизнедеятельности.

Отсюда следует, что устойчивость не означает обязательного повторения одинакового уровня из года в год. Слишком узким было понятие устойчивости ряда как полное отсутствие любых колебаний уровней.

Сокращение колебаний уровней ряда – одна из главных задач при повышении устойчивости.

Устойчивость временных рядов - это наличие необходимой тенденции изучаемого показателя с минимальным влиянием на него неблагоприятных условий.

Для измерения устойчивости уровней временных рядов используют следующие показатели:

1. размах колеблемости - определяется как разница средних уровней за благоприятные и неблагоприятные по отношению к изучаемому явлению периоды времени:

R=y благопр – унеблагопр

К благоприятным периодам времени относятся все периоды с уровнями выше тренда, а к неблагоприятным – ниже тренда.

2) индекс устойчивости:

i=

3)среднее линейное отклонение:

d=

1. среднее квадратическое отклонение:

S(t)=

Уменьшение колеблемости во времени будет равнозначно устойчивости уровней.

Для характеристики устойчивости рекомендуются также следующие показатели:

1. процентный размах (PR):

PR=Wmax-Wmin

Wmax/min – max/min относительный прирост.

W=

2. Скользящая средняя (МА) оценивает величину среднего отклонения от уровня скользящих средних (хt):

МА=

xt=

3. Среднее процентное изменение (АРС) оценивает среднее значение абсолютных величин, относительных приростов и квадратов относительных приростов:

АРС=

Для оценки устойчивости уровней временных рядов применяются относительные показатели колеблемости:

V(t)=

V(t)=

K=100 – V(t) – коэффициент устойчивости (в процентах или долях единиц).

Для измерения устойчивости тенденции динамики (тренда) используют следующие показатели:

1. коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена):

Кр=1- ,

d - разность рангов уровней изучаемого ряда и рангов номеров периодов или моментов времени.

d = Ry – Rt

Для определения этого коэффициента величины уровней нумеруют в порядке возрастания, а при наличии одинаковых уровней им присваивается определенный ранг равный частному от деления рангов, приходящихся на число этих равных значений.

Коэффициент Спирмена может принимать значения в пределах от 0 до ±1. Если каждый уровень исследуемого периода выше, чем предыдущего, то ранги уровней ряда и номера лет совпадают – Кр=+1. Это означает полную устойчивость самого факта роста уровней ряда, то есть непрерывность роста. Чем ближе Кр к +1, тем ближе рост уровней к непрерывному, то есть выше устойчивости роста. Если Кр=0, рост совершенно неустойчив.

При отрицательных значениях чем ближе Кр к -1, тем устойчивее уменьшение изучаемого показателя.

2. индекс корреляции (ИК):

I=

Индекс корреляции показывает степень сопряженности колебаний исследуемых показателей с совокупностью факторов, изменяющих их во времени. Приближение индекса корреляции к 1 означает, большую устойчивость изменения уровней временных рядов.

Число уровней ряда у двух показателей должно быть одинаково.

Применяются также комплексные показатели устойчивости, сущность которых заключается в определении их не через уровни временных рядов, а через показатели их динамики.

1. Показатель Каякиной определяется как отношение среднего прироста линейного тренда, т.е. параметра а1 к среднему квадратическому отклонению уровней от тренда:

Кк=

Чем больше величина этого показателя, тем менее вероятно, что уровень ряда в следующем периоде будет меньше предыдущего.

2. Показатель опережения, который получают, сопоставляя темпы роста уровней ряда с темпами значения колеблемости:

К0=

Если показатель опережения > 1, то это свидетельствует о том, что уровни ряда в среднем растут быстрее колебаний или снижаются медленнее колебаний. В таком случае коэффициент колеблемости уровней будет уменьшаться, а коэффициент устойчивости уровней увеличиваться. Если показатель опережения меньше 1, то колебания растут быстрее уровней тренда и коэффициент колеблемости растет, а коэффициент устойчивости уровней уменьшается, то есть показатель опережения определяет направление динамики коэффициента устойчивости уровней.

Пример:

T	yt	Ранжиров.уровни		Сравнение рангов		d	d2
		yi	Py	Ry	Rt
1	12,0	11,0	1	2	3	-1	1
2	18,8	12,0	2	5	1	4	16
3	11,0	15,4	3	1	8	-7	49
4	29,0	17,5	4	9	5	4	16
5	17,5	18,8	5	4	2	2	4
6	23,4	20,7	6	7	10	-3	9
7	35,6	23,4	7	10	6	+4	16
8	15,4	26,1	8	3	9	-6	36
9	26,1	29,0	9	8	4	4	16
10	20,7	35,6	10	6	7	-1	1

Кр=1-

Ответ: так как Кр ближе к 0, то рост тренда устойчив.

Расчет индекса корреляции

t	Yt	t´	Yt* t´	t2	yтеор	Yt-y	(yt-y)2	(yt-yтеор)2
1	12,0	-5	-60	25	16,25	-9	81	18,06
2	18,8	-4	-75,2	16	17,2	-2,2	4,84	2,56
3	11,0	-3	-33	9	18,15	-10	100	51,12
4	29,0	-2	-58	4	19,1	+8	64	98,01
5	17,5	-1	-17,5	1	20,05	3,5	12,25	6,5
6	23,4	1	23,4	1	21,91	2,4	5,76	2,2
7	35,6	2	71,2	4	22,9	11,6	134,56	161,29
8	15,4	3	46,2	9	23,85	5,6	31,36	71,4
9	26,1	4	104,4	16	24,8	5,1	26,01	1,69
10	20,7	5	103,5	25	25,75	0,3	0,09	25,5
Итого				110			459,87	438,33

Утеор=а0+а1t

а0= а1=

I =

a0=

a1=

Утеор=21+0.95t

Y=21.04

I=

Ответ. Так как I=0,216, т.е. близок к «0», то рост тренда неустойчив.