Компоненты временных рядов.

Значения уровней временных рядов экономических показателей состоят из следующих компонент:

1. Тренд.

2. Сезонная составляющая.

3. Циклическая составляющая.

4. Нерегулярная составляющая.

Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия.

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах экономических процессов часто имеют место более или менее регулярные колебания - периодические составляющие рядов динамики.

Если период колебаний не превышает 1 года, то их называют сезонными. Чаще всего причиной их возникновения считаются природно-климатические условия. Иногда причины сезонных колебаний имеют социальный характер, например, увеличение закупок в предпраздничный период, увеличение платежей в конце квартала и т.д.

При большем периоде колебания, считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить демографические, инвестиционные и другие циклы.

Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента.

Факторы, под действием которых формируется нерегулярная компонента:

• резкого, внезапного действия (стихийные бедствия, эпидемии и др.), вызывают более значительные отклонения по сравнению со случайными колебаниями (катастрофические колебания);

• текущие факторы – вызывают случайные колебания, являющиеся результатом действия большого числа побочных причин. Влияние каждого из текущих факторов незначительно, но ощущается их суммарное воздействие.

Если временной ряд представляется в виде суммы соответствующих компонент, то полученная модель носит название аддитивной (1.1), если в виде произведения - мультипликативной (1.2) или смешанного типа (1.3):

Yt = ut + st + vt + et	(1.1)
Yt = ut *st *vt *et	(1.2)
Yt = ut *st *vt + et	(1.3),

где y_t- уровни временного ряда;

u_t -трендовая составляющая;

s_t- сезонная компонента;

^v_t ^{- циклическая компонента;}

^e_t^{- случайная компонента.}

Проверка гипотезы о существовании тенденции

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, тем более, что современные программные средства предоставляют пользователю большие возможности для этого. Не всегда при этом четко прослеживается присутствие тренда во временном ряду. В этих случаях прежде, чем перейти к определению тенденции и выделению тренда, нужно выяснить, существует ли вообще тенденция в исследуемом процессе.

Основные подходы к решению этой задачи основаны на статистической проверке гипотез. Критерии выявления компонент ряда основаны на проверке гипотезы о случайности ряда.

Рассмотрим наиболее часто используемые на практике критерии проверки "наличия-отсутствия" тренда:

критерий восходящих и нисходящих серий

критерий серий, основанный на медиане выборки;

метод Фостера - Стюарта.

Критерий восходящих и нисходящих серий реализуется в виде следующей последовательности шагов:

1. Для временного ряда определяется последовательность знаков «+» или «- « исходя из следующих условий:

2. Подсчитывается число серий (V(n)) в совокупности знаков. Под серией понимается последовательность несколько подряд идущих «+» или «-«. Причем один «+» или «-« тоже считается серией.

3. Определяется протяженность самой длинной серии ǐmax(n)

4.Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда (т.е. при отсутствии трендовой составляющей) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий -слишком маленьким.

Если нарушился хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается с определенной доверительной вероятностью (≈0,95). Неравенства:

n<26 io = 5

26<n<153 io = 6

153<n<170 io = 7

Критерий серий, основанный на медиане выборки, реализуется в виде следующей последовательности шагов:

1. исходный временной ряд ранжируют;

2. определяют медиану из этого ряда; Nме =

3. образуют последовательность знаков из «+» и «-» по следующему правилу:

Si=

Если Yt = Me, Ye опускается

4. подсчитывается общее число серий V(n) и протяженность самой длинной серии imax (n).

5. Проверяется гипотеза о наличии или отсутствии тренда. Если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается:

Пример:

t	Yt	Yt´	Si
1	509	507	-
2	507	508	-
3	508	509	-
4	509	509	-
5	518	510	+
6	515	511	-
7	520	512	+
8	519	514	+
9	512	515	-
10	511	516	-
11	517	517	+
12	524	518	+
13	526	518	+
14	519	519	+
15	514	519	-
16	510	520	-
17	516	521	-
18	518	524	-
19	524	524	+
20	521	526	+

2) Ме =

4)

8>6

4<7

Ответ: Оба неравенства выполняются: тренд отсутствует.

Метод Фостера-Стьюарта реализуется в следующей последовательности шагов:

1. каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими и определяются значения вспомогательных характеристик

2. вычисляется характеристика dt=mt-lt

3. находится Д =

4. определяется характеристика t наблюдаемое:

t наблюдаемое =

5. расчетное значение t наблюдаемое сравнивается с t критическое, взятым из таблицы;

6. если t наблюдаемое > t критическое, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Пример:

t	Yt	mt	lt	dt
1	509	-	-	-
2	507	0	1	-1
3	508	0	0	0
4	509	0	0	0
5	518	1	0	1
6	515	0	0	0
7	520	1	0	1
8	519	0	0	0
9	512	0	0	0
10	511	0	0	0
11	517	0	0	0
12	524	1	0	1
13	526	1	0	1
14	519	0	0	0
15	514	0	0	0
16	510	0	0	0
17	516	0	0	0
18	518	0	0	0
19	524	0	0	0
20	521	0	0	0

3)Д=3, 4) t набл= , 5) t крит = 2,093, 6) t набл < t крит, 1,316 < 2,093, Ответ: Тренда не