Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Структура общего решения.
Пусть линейное однородное дифференциальное уравнение
имеет постоянные коэффициенты p и q.
Будем искать частное решение уравнения в форме
Где k – постоянное число, подлежащее определению. Из имеем
и
Подставляя
в уравнение
,
получаем
Или, сокращая на
множитель
,
который не равен нулю, находим
Квадратное уравнение
,
из которого определяется k,
называется характеристическим уравнением
данного линейного уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Заметим, что для написания характеристического
уравнения
достаточно в дифференциальном уравнении
производные
и функцию y
заменить на соответствующее степени
величины k,
рассматривая при этом функцию y
как производную нулевого порядка.
1
Определение.
Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.
Определение.
Если из функций yi составить определитель n – го порядка
,
то этот определитель называется определителем Вронского.
( Юзеф Вронский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)
Теорема:
Если
функции
линейно
зависимы, то составленный для них
определитель Вронского равен нулю.
Теорема:
Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.
Теорема:
Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.
Теорема.
Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.
где Ci –постоянные коэффициенты. 2
Пример :
Решить
уравнение
Это уравнение не является линейным, понизим порядок уравнения с помощью подстановки .
Тогда
Окончательно
получаем
Заключение.
Получилось установить связь между функциями и переменными величинами, т.е. найдены дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной.
Установлено характерное свойство дифференциальных уравнений, в частности то, что они имеют бесконечное множество решений.
Рассмотрели примеры решения дифференциальных задач. И показали, что их решение сводится к элементарным задачам, т.е. к элементарным дифференциальным уравнениям.