Подпространство векторного пространства

Определение 2. Непустое множество векторов   векторного пространства   называется линейным подпространством⁶⁾, если:

1. Для любых векторов ;

2. Для всех .

Определение 3. Коразмерностью⁷⁾ линейного подпространства   называется разность  .

Определение 4. Подпространство, коразмерность которого равна 1, называется гиперплоскостью⁸⁾.

Факторпространство

Пусть   — подпространство векторного пространства  . Тогда   является подгруппой⁹⁾ абелевой группы  , поэтому определена факторгруппа  .

Предложение 1. Отображение  , определенное правилом:

 для всех   и 

корректно, то есть не зависит от выбора представителя смежного класса. Кроме того, данное отображение удовлетворяет всем свойствам из определения 1.

Определение 5. Факторпространством¹⁰⁾ векторного пространства   по подпространству   называется факторгруппа   с отображением  , указанным в предложении 1.

Двойственное векторное пространство Определение

Пусть   — векторное пространство над полем  .

Определение 1. Двойственным векторным пространством¹⁾ к   называется векторное пространство линейных функционалов  ²⁾, то есть множество линейных функционалов  , с операциями сложения и умножения на скаляр, определенными формулами:

1. Для всех ;

2. Для всех .

Двойственное пространство к пространству   обозначают через  . Таким образом,  .

Замечание 1. Отображение   такое, что   для всех   и   является спариванием между   и  .

Двойственный базис

Предложение 1. Пусть   — векторное пространство размерности   с базисом  . Тогда линейные функционалы  , определенные соотношением

,

образуют базис  .

Определение 2. Базис   пространства  , указанный в формулировке предложения 1, называется двойственным³⁾к базису   пространства  .

Жорданова нормальная форма

Жорданова матрица

Для произвольного поля   определены матрицы специального вида с элементами из  . Пусть  .

Определение 1. Жордановой клеткой¹⁾   размера   с собственным значением   называется матрица вида

Определение 2. Жордановой матрицей²⁾ называется матрица, состоящая из диагональных блоков   и нулей вне этих блоков:

Жорданова нормальная форма

Пусть   — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве   над полем  . Зафиксировав в  некоторый базис  , можно однозначно определить матрицу   этого линейного оператора.

Определение 3. Жордановым базисом линейного оператора   называется такой базис пространства  , в которой матрица   оператора   является жордановой. Говорят также, что матрица в этом базисе имеет жорданову нормальную форму.

Определение 4. Приведением квадратной матрицы   к жордановой нормальной форме называется решение матричного уравнения  , где   — некоторая жорданова матрица.

Теорема 1. Каждая квадратная матрица   порядка   над алгебраически замкнутым полем   приводится к жордановой нормальной форме, единственной с точностью до перестановки клеток.

Корневые подпространства

Пусть   — собственное значение линейного оператора   на пространстве  .

Определение 5. Корневым подпространством³⁾, соответствующим собственному значению   называется множество векторов

.

Предложение 1. Пусть   — линейный оператор на пространстве   с характеристическим многочленом   где   при  . Тогда   — прямая суммакорневых подпространств  , каждое из которых инвариантно относительно   и имеет размерность  . Оператор   нильпотентен на   и невырожден на подпространстве  . Кроме того,   — единственное собственное значение оператора  .