Системы линейных уравнений Правило Крамера

Задача 1. Решить систему линейных уравнений

Решение. Согласно правилу Крамера, если определитель системы   ненулевой, то система имеет единственное решение, определенное формулами:

.

1. Найдем  , раскладывая определитель по двум первым строкам (см. теорему Лапласа): .

2. Найдем определитель  , который получается из   заменой первого столбца на столбец свободных членов: .

3. Найдем определитель  , который получается из   заменой второго столбца на столбец свободных членов: .

4. Найдем определитель  , который получается из   заменой третьего столбца на столбец свободных членов: .

5. Найдем  , который получается из   заменой последнего столбца на столбец свободных членов: .

Таким образом,  ,  ,  ,  .

5.1.5. Образ и ядро линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в пространстве Rⁿ.

Напомним, что множество элементов пространства Rⁿ, которые являются образами элементов из области определения D(A) оператора A, называют образом оператора A и обозначают Im(A).

Теорема. Образ Im(A) линейного оператора A — линейное подпространство пространства Rⁿ.

Теорема на лекции доказана.

Определение. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается Rg(A): r=Rg(A)=dim Im(A).

Определение. Ядром линейного оператора называется множество элементов пространства Rⁿ, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A):  .

Теорема. Ядро линейного оператора — линейное подпространство пространства Rⁿ.

Теорема на лекции доказана.

Определение. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается def(A):r=def(A)=dimKer(A).

Для линейного оператора , действующего в пространстве Rⁿ, справедливы следующие утверждения:

1) ранг оператора равен рангу его матрицы;

2) ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей A, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

Эти утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора (найти размерность подпространства и построить его базис), заданного матрицей, на языке матричных преобразований и общей теории линейных систем.

Примеры.

1. Ядро и образ нулевого оператора: поскольку  то 

2. Ядро и образ тождественного (единичного) оператора:поскольку  , то 

3. Ядро и образ оператора проектирования пространства Rⁿ на подпространство R^n-1 параллельно вектору  : поскольку  , то 

4. Ядро и образ оператора поворота пространства R³ против часовой стрелки на угол  относительно оси вектора  : поскольку  , то 

5.1.2 Матрица линейного оператора

Пусть

, A — линейный оператор в Rⁿ.

Это означает, что в некотором базисе  в Rⁿ имют место разложения:

.

Поскольку A — линейный оператор, то

Но  следовательно,  т.е.  — вектор из Rⁿ, компоненты которого — координаты образа базисного вектора 

Продолжим вычисления:

Обозначим

.

Тогда    т.е.  .

Формула  связывает вектор-столбец  координат образа с вектором-столбцом  координат прообраза.

Определение. Матрица, столбцами которой являются координаты образов соответствующих базисных векторов некоторого базиса в Rⁿ —

• называется матрицей линейного оператора A в данном базисе.

Обратите внимание, теперь и в дальнейшем A (полужирная) — обозначение линейного оператора, A(светлая) или A_e —обозначение матрицы оператора A в некотором базисе или в базисе  .

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема (связь координат образа и прообраза). Если в пространстве Rⁿ определен некоторый базис,  и  — векторы (столбцы) из Rⁿ и  , то векторы-столбцы их координат в этом базисе связаны соотношением  , где A — матрица оператора A в этом же базисе.

Между множеством линейных операторов, действующих в Rⁿ и множеством квадратных матриц порядка n можно установить взаимно однозначное соответствие.

Примеры.

Матрица нулевого оператора: поскольку  то   и, следовательно матрица нулевого оператора — нулевая матрица;

матрица тождественного (единичного) оператора:поскольку  , то  (единица на i-м месте), и, следовательно матрица тождественного оператора — единичная матрица;

матрица оператора проектирования пространства Rⁿ на подпространство R^n-1 параллельно вектору  : поскольку  , то   и, следовательно у матрицы A оператора проектирования последний столбец нулевой и она имеет вид:

матрица оператора поворота пространства R³ против часовой стрелки на угол ? относительно оси вектора  : поскольку  , то   и, следовательно у матрицы A оператора пооворота имеет вид:

 

5.1.3. Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса

Как уже отмечалось, в пространстве Rⁿ существует множество различных базисов.

Пусть  и  — два базиса в Rⁿ.

Обозначим   и  координаты векторов  и  из Rⁿ и матрицу оператора A соответственно в базисах  и  , а  — матрица перехода от базиса   к базису  , т.е.

,

,

Тогда

откуда имеем

— формулы преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса.

 

5.1.4. Действия с линейными операторами

Для линейных операторов, как и для всех других новых объектов, с которыми мы познакомились в курсе линейной алгебры, можно определить линейные операции — операции сложения и умножения на число.

Определение. Суммой операторов A и B называется оператор, определенный в Rⁿ на  и действующий следующим образом:  .

Определение. Произведением оператора A на число  называется оператор, определенный в Rⁿ на  и действующий следующим образом: 

Определение. Произведением AB операторов A и B называется оператор, определенный в Rⁿ на  и действующий следующим образом: 

На лекции доказано, что сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на действительное число и произведение линейных операторов — линейный оператор.

Нетрудно доказать следующее утверждение: матрица суммы операторов в некоторм базисе равна сумме матриц слагаемых в том же базие, матрица оператора, являющегося произведением оператора на число — произведению матрицы оператора на число, а матрица произведения операторов — произведение матриц сомножителей.