Алгебраическое дополнение

Определение 3. Пусть   — минор порядка   матрицы  , построенный на строках с номерами   и столбцах с номерами  . Величину   будем называть алгебраическим дополнением³⁾ минора  .

Пример 5. Алгебраическое дополнение минора   из примера 4 равно  . Алгебраическое дополнение элемента   из примера 3 равно  .

Теорема Лапласа

Теорема 1. (Теорема Лапласа) Зафиксируем в квадратной матрице   произвольные   строк с номерами  . Тогда определитель матрицы   равен сумме произведений всевозможных миноров, построенных на этих строках, на их алгебраическое дополнение. То есть  .

Если зафиксировать в матрице только одну строку с номером  , то, как частный случай из теоремы Лапласа, получим следующую формулу: .

Пример 6. Вычислим определитель матрицы   из примера 3 с помощью разложения по первой строке: .

Определители 2-го порядка

Правило вычисления определителей 2-го порядка указано в примере 1.

Задача 1. Вычислить определитель  .

Решение.  .

Определители 3-го порядка

Правило вычисления определителей 3-го порядка указано в примере 2.

Задача 2. Вычислить определитель  .

Решение.

Способ 1. Вычислим определитель по «правилу треугольника».  .

Способ 2. Используем теорему Лапласа. Разложим определитель по второй строке, так как там только один ненулевой элемент.  .

Способ 3. Разложим определитель по первой строке:  . Как видим, разложение по второй строке было более целесообразно.

Способ 4. Вычислим определитель с помощью элементарных преобразований, используя свойства определителя.

 (вычли из третьей строки первую)

 (вынесли 2 из третьей строки)

 (вычли из первой строки третью, умноженную на 5)

 (прибавили к первой строки вторую, умноженную на -11)

 (поменяли местами первую и третью строки; при этом сменился знак)

. (Для вычисления определителя верхнетреугольной матрицы применилипредложение 7.)

Определители высших порядков

Задача 3. Вычислить определитель

.

Решение. Применяя теорему Лапласа, разложим определитель по первым двум строкам. Перечислим все миноры порядка 2, построенные на 1-й и 2-й строках:

1. на 1-м и 2-м столбцах:  . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 2-го столбца исходного определителя:  . Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+1+2.

2. на 1-м и 3-м столбцах:  . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 3-го столбца исходного определителя:  . Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+1+3.

3. на 1-м и 4-м столбцах:  . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 4-го столбца исходного определителя:  . Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+1+4.

4. на 2-м и 3-м столбцах:  . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 2-го и 3-го столбца исходного определителя:  . Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+2+3.

5. на 2-м и 4-м столбцах:  . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 2-го и 4-го столбца исходного определителя:  . Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+2+4.

6. на 3-м и 4-м столбцах:  . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 3-го и 4-го столбца исходного определителя:  </latex>. Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+3+4.

Согласно теореме Лапласа, нужно умножить каждый минор на его алгебраическое дополнение и просуммировать результат:  .

Задача 4. Вычислить определитель

.

Решение. С помощью перестановки строк приведем определитель к такому виду, чтобы ненулевые элементы стояли на главной диагонали. Последовательно меняя соседние строки, переместим первую строку вниз. При этом будет выполнена  перестановка. Поэтому   (см.предложение 2).

Таким же образом переместим верхнюю строчку полученного определителя на  -е место. При этом будет произведено   операции, и определитель примет вид  .

Произведя такую процедуру   раз, получим определитель  . (Для вычисления определителя верхнетреугольной матрицы применили предложение 7.)

Задача 5. Вычислить определитель  .

Решение. Используя элементарные преобразования, приведем матрицу определителя к нижнетреугольному виду. А именно, вычтем из  -й строки  -ю. Затем из  -й  -ю, и т.д., наконец, вычтем из второй строки первую. В результате таких преобразований, согласно предложению 6, определитель не изменится, поэтому

.

Теперь, как в предыдущей задаче поменяем строки местами так, чтобы матрица определителя стала нижнетреугольной.

.