Список основных статей по линейной алгебре

Аффинное пространство

Базис и размерность векторного пространства

Билинейное отображение

Векторное пространство

Двойственное векторное пространство

Жорданова нормальная форма

Квадратичная форма

Квадратичная форма на векторном пространстве

Квадратичная форма на вещественном векторном пространстве

Линейная зависимость

Линейное нормированное пространство

Линейное отображение векторных пространств

Матрица

Матрица линейного отображения

Минимальный многочлен линейного оператора

Определитель и след линейного оператора

Определитель матрицы

Пересечение и сумма подпространств

Ранг матрицы

Свободный модуль

Скалярное произведение

Теорема Лапласа

Характеристический многочлен линейного оператора

Аффинное пространство Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства

Определение 1.  -мерным аффинным пространством над полем   называется множество точек и векторов, удовлетворяющих следующим аксиомам:

1. Существует по меньшей мере одна точка¹⁾.

2. Каждой паре точек  , заданных в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один вектор, который обозначается через  .

3. Для каждой точки   и каждого вектора   существует одна и только одна точка   такая, что  ²⁾.

4. (Аксиома параллелограмма.) Если  , то  .

5. Каждому вектору   и каждому числу   поставлен в соответствие определенный вектор, который обозначается   и называется произведением вектора   на число  .

6.  для любого вектора  .

7.  для всех  .

8.  для любых векторов  .

9. Для всех .

10. Существует   линейно независимых векторов, но любые   векторов линейно зависимы между собой.

Пример 1. Трехмерное пространство   является аффинным пространством, где точками служат упорядоченные тройки чисел  .

Базис и размерность векторного пространства Определение

Определение 1. Базисом¹⁾ ненулевого векторного пространства   над полем   называется система векторов, которая

1. порождает  ,

2. линейно независима.

Теорема 1. Ненулевое векторное пространство   всегда обладает базисом. Иными словами,   является свободным  -модулем.

Определение 2. Размерностью²⁾ ненулевого векторного пространства   называется мощность его базиса. Для нулевого векторного пространства   полагают, что его размерность равна нулю. Размерность векторного пространства   над полем   обозначается через  .

Определение 3. Говорят, что пространство   конечномерно³⁾, если   или базис   состоит из конечного числа векторов. В противном случае говорят, что бесконечномерно⁴⁾.

Пример 1. Поле действительных чисел   является бесконечномерным векторным пространством над полем рациональных чисел  .

Пример 2. Поле комплексных чисел   является двумерным вещественным векторным пространством⁵⁾.

Пример 3. Произвольное поле   является одномерным векторным пространством над собой с базисом  .

Предложение 1. Для конечномерного векторного пространства набор векторов   является базисом, если каждый вектор   единственным образом представляется в виде  .

Определение 3. Пусть   — базис  , и  . Скаляры   называютсякоординатами⁶⁾ вектора   в данном базисе.

Пример 4. Пусть   — поле, и   —  -мерное координатное пространство. Векторы   составляют базис  .

Предложение 2. В конечномерном векторном пространстве число векторов базиса не зависит от выбора базиса.