Определители n-го порядка.

Пусть дана квадратная матрица А n-го порядка

.

Определитель n-го порядка, соответствующий квадратной матрице А, обозначается символом

(12)

и определяется как число

, (13)

где есть миноры соответствующих элементов , т.е. определители (n-1)-го порядка, полученные из данного вычеркиванием его первой строки и соответственно первого, второго, …, n-го его столбцов.

Например, .

Так как каждый минор , где k=1,2,…,n есть определитель (n-1)-го порядка, то согласно (13) вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка.

ПРИМЕР 5.1. Вычислить определитель .

Решение. Согласно (13) получим

Определители n-го порядка имеют те же свойства, что и определители третьего порядка. Их справедливость проверяется с помощью соотношения (13).

Выберем в определителе  элемент , где .

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из  вычеркиванием его i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется минор этого элемента, взятый с дополнительным знаком (-1)^i+j, т.е.

, где . (14)

Для определителей n-го порядка также остается справедливой теореме разложения, т.е. определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.

(15)

Равенство (15) содержит 2n формул, по каждой из которых можно произвести вычисление определителя.

На практике полезно перед применением теоремы разложения преобразовать определитель с помощью его свойств так, чтобы в одной из его строк (столбцов) образовалось максимальное число нулевых элементов.

ПРИМЕР 5.2. Вычислить определитель

.

Решение. Вычитая из второго столбца первый, а из четвертого столбца третий, найдем

,

так как образовавшийся определитель содержит два одинаковых столбца.

6. Обратная матрица.

Пусть дана квадратная матрица А порядка n.

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. Квадратная матрица А^-1 порядка n называется обратной матрицей для данной матрицы А, если

, где Е – единичная матрица. (16)

Обозначим через  определитель матрицы А и вычислим его. Тогда, если , то матрицу А называют неособенной (невырожденной) матрицей, если же , то особенной (вырожденной) матрицей.

ТЕОРЕМА 6.1. Всякая неособенная матрица А имеет обратную матрицу А^-1, определяемую формулой

, (17)

где есть алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А.

Доказательство. Покажем, что . Действительно,

Согласно обобщению теоремы 4.1 о разложении по элементам любой строки все элементы, расположенные на главной диагонали предыдущей матрицы, равны , а оставшиеся элементы, согласно обобщению теоремы 4.2, равны нулю. Тогда

.

Аналогично доказывается, что .

ПРИМЕР 6.1. Найти матрицу А^-1, если .

Решение. Выясним, является ли матрица А невырожденной и имеет обратную матрицу А^-1.

.

Так как определитель , то матрица А невырожденная и имеет обратную матрицу А^-1.

, где

, , ,

, , ,

, , .

Подставляя найденные числа в формулу для А^-1, получим

.