6. Уравнение прямой по двум ее точкам.

Пусть прямая проходит через данные точки , . Вектор расположен на самой прямой . Следовательно, этот вектор является одним из направляющих векторов этой прямой. Тогда, полагая в (42)

, получим

. (43)

Уравнения (43) называются уравнениями прямой по двум ее точкам.

ПРИМЕР 21.1. Найти уравнения медианы треугольника с вершинами в точках .

Решение. Так как точка делит отрезок пополам, то

Медиана проходит через точки и , координаты которых известны. Тогда, уравнение этой медианы найдутся по формуле (43)

6. Общие уравнения прямой.

Пусть в пространстве даны своими уравнениями и две плоскости . Если эти плоскости пересекаются, то система

(44)

определяет уравнение прямой, являющейся линией пересечения плоскостей и . Уравнения (44) называются общими уравнениями прямой.

Покажем, что если прямая задана своими уравнениями в одной из форм (40-44), то всегда возможно найти любую из оставшихся ее форм уравнений. Например, если прямая задана своими каноническими уравнениями , то эти уравнения равносильны системе двух уравнений первой степени

Первое уравнение этой системы не содержит . Следовательно, оно определяет плоскость, параллельную оси . Второе уравнение не содержит и определяет плоскость, параллельную оси . Тогда эта система составлена из уравнений пересекающихся плоскостей и представляет собой общие уравнения данной прямой .

Пусть, наоборот, прямая дана своими общими уравнениями (44) и требуется найти ее канонические уравнения. Для решения этой задачи достаточно указать одну из бесконечного множества точек , принадлежащих прямой, и найти направляющий вектор .

К оординаты такой точки проще всего определить из системы уравнений (44), если в этой системе положить либо , либо , либо равными какому угодно числу (например, нулю). Для определения одного из возможных направляющих векторов пряиой построим нормальные векторы , данных плоскостей (рис.25).

l

Вектор перпендикулярен векторам , тогда

.

Подставляя найденные координаты точки и проекции вектора в уравнения (42), найдем искомую каноническую форму уравнений заданной прямой.

ПРИМЕР 22.1. Привести общие уравнения прямой

к каноническом виду.

Решение. Уравнения прямой ищем в виде

(1)

Для определения координат точки в общих уравнениях положим, напрмер, . Тогда получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными и :

Итак, точка является одной из точе данной прямой. Для определения одного из направляющих векторов прямой введем два нормальных вектора и . Тогда

.

Отсюда . Подставляя найденные величины в уравнение (1), получим искомую каноническую форму уравнения прямой

.

6. Угол между двумя прямыми.

Пусть в пространстве даны две прямые

.

Рис.26

Под углом между двумя прямыми в пространстве понимают любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными из одной точки параллельно данными прямым (рис.26). Обозначим угол между направляющими векторами и данных прямых через . Тогда один из смежных углов между прямыми и также равен . Следовательно,

. (45)

Заметим, что если , то векторы , коллинеарны. Тогда

. (46)

Условия (46) называются условием параллельрности двух прямых в пространстве .

Если же  , то и  . Тогда .

. (47)

Условие (47) называется условием перпендикулярности двух прямых в пространстве .

ПРИМЕР 23.1. Найти уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно двум прямым и .

.

Решение. Так ка искомая прямая проходит через данную точку , то ее уравнения будем искать в виде , где ее неизвестный направляющий вектор.

По условию искомая прямая перпендикулярна прямым . Тогда  ,  , где , есть направляющие векторы векторы данных прямых. Следовательно, за направляющий вектор можно принять вектор .

Тогда , а уравнениями искомой прямой являются уравнения

.