12. Парабола.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Выберем на плоскости произвольную точку и произвольную прямую , не проходящую через эту точку. Назовем точку фокусом, а прямую директрисой. Обозначим расстояние от точки до прямой через и построим систему координат так, как это изображено на рис.16.

Рис.16

Тогда фокус будет расположен в точке , а директриса будет иметь уравнение .

Пусть точка произвольная точка плоскости . Предположим, что точка лежит на параболе. Тогда, по определению этой кривой , где  . Точка по построению имеет координаты . Следовательно, равенство запишется в виде

.

Освобождаясь от иррациональности, получим

. (20)

Пусть точка не лежит на параболе. Тогда . Следовательно, и .

Итак, согласно определению 1.1 уравнения плоской кривой уравнение (20) является уравнением искомой параболы. Оно называется каноническим уравнением параболы, а число называется ее параметром.

Определим форму параболы. В уравнение (20) переменная входит в четной степени. Следовательно, кривая симметрична относительно оси . При . Значит, кривая проходит через начало координат. При , , так как по условию . При существует, причем при увеличении переменная также увеличивается. По полученным данным построим параболу (рис.16).

Терминология. Точка называется фокусом параболы. Точка называется вершиной параболы. Прямая называется директрисой. Ось, на которой расположен фокус, называется фокальной осью. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы.

Дополнение. Если фокальную ось параболы принять за ось , то уравнение параболы запишется в виде

. (21)

ПРИМЕР 11.1. Найти фокус и уравнение директрисы параболы .

Решение. Так как каноническое уравнение параболы имеет вид , то . Следовательно, , а . Фокус параболы расположен в точке . Директриса имеет уравнение .

13. Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными осями координат.

Рассмотрим предварительно одну из частных задач преобразования системы координат. Пусть на плоскости введены две прямоугольные декартовы системы координат и с центрами в точках и и соответственно параллельными осями координат (рис.17).

Рис.17

Пусть точка в системе имеет координаты . Выберем на плоскости произвольную точку и обозначим ее координаты через и в соответствующих системах и . Поставим задачу установления формул связи между координатами точки в старой ( ) и новой ( ) системах координат. Очевидно, что в системе вектор , вектор . В системе вектор .

Согласно правилу сложения векторов

или (22)

Формулы (22), связывающие между собой старые и новые координаты точки плоскости, называются формулами параллельного переноса системы координат. Пусть теперь на плоскости задан эллипс с полуосями и , центр которого находится в точке , а оси симметрии параллельны осям координат и . Требуется найти уравнение эллипса. Введем новую систему координат с помощью параллельного переноса системы , расположив ее начало координат в центре эллипса (рис.18). Тогда в новой системе каноническое уравнение эллипса запишется в виде . Из (22) найдем, что . Тогда в заданной системе координат уравнение эллипса примет вид

. (23)

y

y’

y₀

0’

x’

0

x₀

x

Уравнение (23) является уравнением эллипса с полуосями и , центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям.

Решая аналогичным образом задачу относительно уравнения гиперболы с центром в точке , с осями симметрии, параллельными осям координат, с действительной полуосью, равной , мнимой, равной , получим уравнение

. (24)

Аналогично найдем, что уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси абсцисс, вершина которой находится в точке , а ее параметр равен , имеет вид

. (25)

Если же ось параболы параллельна оси ординат, то

. (26)