Інтерполяційний багаточлен Лагранжа

Нехай відомі значення деякої функції у -й різних точках . Позначимо їх наступним чином:

, .

Ці значення можуть бути отримані експериментально або знайдені за допомогою обчислень.

Виникає задача знаходження значення функції у довільній точці . Часто для розв’язання цієї задачі використовується алгебраїчний багаточлен ступеню , який в точках , , приймає ті ж самі значення, що і функція :

, .

Такий багаточлен називається інтерполяційним багаточленом, а точки - вузлами інтерполяції.

Наближене обчислення функції за формулою називається інтерполяцією функції за допомогою алгебраїчного багаточлена . Якщо точка, в якій треба знайти значення функції , розташована за межами мінімального відрізку, що містить всі вузли інтерполяції , то заміну функції називають екстраполяцією.

Теорема. Існує єдиний інтерполяційний багаточлен порядку , що задовольняє умові , .

Доведення: Існування інтерполяційного багаточлена встановимо безпосередньо, записавши його вираз.

Нехай . Тоді існує два значення аргументу . Можна записати рівняння прямої, що проходить через дві точки - та (рис. 4.1.2):

.

Рис. 4.1.2.

В загальному випадку формула для інтерполяційного багаточлена має вигляд:

, (13)

де , причому очевидно, що , оскільки якщо , то одна з дужок чисельника обов’язково дорівнюватиме нулю.

Багаточлен називається інтерполяційним багаточленом Лагранжа, а функції - лагранжевими коефіцієнтами.

Доведемо, що - єдиний поліном, що задовольняє умові .

Нехай існує іншій поліном , такий, що . Тоді багаточлен дорівнює нулю у вузлах інтерполяції: , . Отже, на всьому відрізку . Це означає, що при всіх дискретних значеннях . Отже, – єдиний поліном.

Теорему доведено.

Для початкової функції та інтерполяційного багаточлена можна записати рівність:

,

де - залишковий член, тобто похибка інтерполяції, оцінка якої за аналогією з багаточленом Тейлора проводиться згідно виразу:

,

де , - вузли інтерполяції, .

Максимальна похибка інтерполяції:

.

Багаточлени Чебишева

Якщо задана деяка функція на відрізку , то виникає питання: як обрати вузли інтерполяції так, щоб похибка наближення функції інтерполяційним багаточленом була мінімальною.

Розв’язок може бути знайдений для різноманітних часткових випадків функції . Але мінімізувати величину , що входить у праву частину виразу (14) оцінки похибки, можна за допомогою використання поліномів Чебишева.

Для простоти розглянемо відрізок зміни аргументу . Багаточлен Чебишева , на відрізку задається формулою:

.

Зокрема, при , при .

Розглянемо тригонометричні формули:

,

,

.

Покладемо . Тоді можна записати вираз для полінома Чебишева:

,

.

,

або

.

Ми отримали рекурентну формулу для поліномів Чебишева. Знаючи, що , і поширюючи рекурентну формулу на всю вісь , знайдемо:

: .

: .

:

і т.д.

Властивості багаточленів Чебишева:

Властивість 1. При парному (непарному) багаточлен містить лише парні (непарні) степені , тобто є парною (непарною) функцією.

Властивість 2. Старший коефіцієнт багаточлена при дорівнює .

Властивість 3. Багаточлен має дійсних коренів на відрізку , які виражаються формулою:

.

Дійсно, .

Властивість 4. , причому , де , .

Дійсно, , , .

Властивість 5. Багаточлен , серед всіх багаточленів -го степеня зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює одиниці, має на відрізку найменше значення максимума модуля, тобто не існує такого багаточлена -го степеня зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює одиниці, щоб

.

Завдяки властивості 5 багаточлени Чебишева називають багаточленами, що найменше відхиляються від нуля.