Наближення функцій багаточленами Тейлора

Найбільш зручними функціями для подальшої математичної обробки є алгебраїчні багаточлени. Для того, щоб задати багаточлен, треба лише задати кінцеву кількість його коефіцієнтів, яка дорівнює степені багаточлена плюс одиниця (наприклад, три коефіцієнти для багаточленна другого порядку: ). Значення багаточлена просто обчислюються, він легко диференціюється та інтегрується. Тому алгебраїчні багаточлени широко використовуються для наближення функцій.

Функцію, яка визначена на відрізку та має на цьому відрізку неперервні похідні до -го порядку включно (іншими словами, функція є разів диференційованою на відрізку , причому ) можна наблизити в околі точки рядом Тейлора:

, .

При отримаємо формулу наближення функції рядом Маклорена:

.

При обчисленні таких функцій, як , , , , вони представляються багаточленами Тейлора або Маклорена з обмеженою кількістю членів ряду. При цьому кількість доданків, що беруть участь у розрахунку, визначається необхідною точністю знаходження відповідної функції.

Багаточленом Тейлора порядку будемо називати функцію:

.

Багаточлен Тейлора має властивість: всі його похідні до порядку включно співпадають з відповідними похідними функції , тобто

.

Завдяки цій властивості багаточлен Тейлора доволі добре наближує функцію в околі точки .

Похибка, що виникає при заміні функції багаточленом Тейлора, визначається залишковим членом ряду Тейлора:

,

де – деяка точка, що лежить між та , .

Даний залишковий член записаний у формі Лагранжа.

Внаслідок зробленого припущення, що похідна функції є неперервною на відрізку , можна стверджувати, що вона обмежена на цьому відрізку, тобто існує таке кінцеве число:

.

Тоді можна записати:

.

Позначимо .

Тоді:

.

Ця нерівність служить оцінкою граничної абсолютної похибки на всьому відрізку .

Недоліки представлення функцій рядом Тейлора:

1) Суттєво нерівномірна на відрізку точність апроксимації ( при і зростає при або ).

2) Необхідність знаходження похідних високих порядків.

Тим не менш, багаточлени Тейлора, а токож відрізки рядів Тейлора, які теж є багаточленами Тейлора, широко використовуються на практиці для апроксимації функцій, у яких досить просто обчислювати похідні старших порядків, а залишковий член наближається до нульового значення при . До таких функцій, перш за все, відносяться елементарні функції , , , та ін.

Приклад. Наблизити многочленом Тейлора функцію на відрізку з абсолютною похибкою, що не перевищує .

Нехай – середина відрізка, щоб мінімізувати похибку,

для оцінки залишкового члена складемо таблицю

n	2	3	4	5	6
	5,7*0.01	7,1*0.001	7,1*0.0001	5,9*0.00001	4,3*10-6

Отже для наближення із заданою точністю необхідно взяти 6 членів ряду.

Приклад. Розглянемо приклад суми і добутку функцій.

Аналогічно можна знайти добуток

Ряд Тейлора в точці називається рядом Маклорена.