Упражнения для самопроверки
1.
.
Найти
.
2.
.
Укажите
.
3.
Вычислить
.
4.
Найти уравнение кривой, на которой
расположены точки, удовлетворяющие
условию
.
5.
Найти мнимую часть числа
6.
Найти модуль числа
7.
Пусть
и
.
Найти АВ-ВА.
8.
=
Найти С13, С22, С23.
9. Матрица В имеет 3 строки и 2 столбца, матрица А – 2 строки и 4 столбца. Какое из произведений АВ или ВА можно составить? Каково строение у получившейся матрицы-произведения?
10.
Определитель
равен
2. Чем равен определитель матрицы 3А?
11. Чему равен определитель матрицы 3Е, где
Найти
А·Е, где
12. Определитель матрицы А равен 3. Чему равен определитель матрицы, полученной из А перестановкой третьего и пятого столбцов?
13.
Найти алгебраическое дополнение А23
матрицы
.
14. Вычислить определитель
15. Для матрицы
найти А-1. Проверить, что А и А-1 – симметричные матрицы (напомним, что матрица называется симметричной, если при перемене местами всех строк и столбцов она не меняется, т.е., если aij= aji при любых i и j).
16. Определитель матрицы А равен 2. Чему равен определитель матрицы А-1? Указание: воспользоваться тем, что определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, и тем, что определитель единичной матрицы Е равен1.
17.
Однородная система имеет определитель
.
Сколько решений имеет эта система? Найти
их (однородной называется система, у
которой свободные члены равны нулю).
18. Определитель матрицы системы
равен
-4. Найти
.
19. Можно ли найти решение системы
матричным методом?
20. Не решая системы
выяснить, сколько она имеет решений.
21.
.
Найти
.
22.
Найти смешанное произведение
.
23.
При каком λ прямая
параллельна плоскости
?
24. Чему равно смешанное произведение векторов , , ?
25.
Найти точку С пересечения плоскости
с осью 0y.
Ответы к упражнениям для самопроверки
1). -8
2).
3).
4).
5). -7
6).
7).
8). 17; 0; 10
9). ВА; 3х4
10). 18
11). 81; А
12). -3
13). -31
14). -30
15).
16). ½
17). Решений одно, нулевое
18). -15
19). Нет
20). Бесконечно много
21).
22). -1
23). 6
24). 0
25). (0, 2, 0).
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
В задачах 1-10, используя метод Гаусса, найти решение системы или доказать её несовместность.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
В задачах 11-20 дана матрица А. Найти обратную матрицу А-1 и проверить, что
А-1А=АА-1=Е.
При помощи обратной матрицы найти
решение
системы, записанной в матричной форме
AX=B,
где
.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
В задачах 21-30 найти указанноеxi по формулам Крамера.
21-24.
21.
?
22.
?
23.
?
24.
?
25-28.
25.
?
26.
?
27.
?
28.
?
29-30.
29. ? 30. ?
В
задачах 31-40 найти:
;
площадь треугольника со сторонами,
совпадающими с векторами
и
;
смешанное произведение векторов (
);
при каком
векторы
и
ортогональны?
31.
;
;
А(0,-2,1); В(-1,1,3).
32.
;
;
А(1,2,3); В(2,-2,0).
33.
;
;
А(3,0,1); В(0,1,-2).
34.
;
;
А(2,-2,0); В(1,2,-1).
35.
;
;
А(1,1,1); В(-1,0,-2).
36.
;
;
А(3,-2,1); В(0,1,1).
37.
;
;
А(0,1,3); В(-1,2,1).
38.
;
;
А(-1,0,2); В(-3,1,1).
39.
;
;
А(1,2,0); В(0,-1,2).
40.
;
;
А(3,-2,1); В(4,0,1).
В
задачах 41-50 найти (
,
)
и длину вектора
.
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
2 |
3 |
|
42 |
|
|
1 |
2 |
|
43 |
|
|
2 |
1 |
|
44 |
|
|
3 |
1 |
|
45 |
|
|
1 |
1 |
|
46 |
|
|
2 |
3 |
|
47 |
|
|
1 |
1 |
|
48 |
|
|
2 |
2 |
|
49 |
|
|
1 |
1 |
|
50 |
|
|
2 |
1 |
|
В задачах 51-60 найти: уравнение прямой, проходящей через точки А и В; уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости Р; уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно прямой L.
|
А |
В |
Р |
L |
51 |
(0,-3,4) |
(-1,0,2) |
|
|
52 |
(-1,1,-2) |
(1,2,0) |
|
|
53 |
(3,-2,0) |
(-2,0,1) |
|
|
54 |
(4,0,-1) |
(1,3,6) |
|
|
55 |
(3,-5,-1) |
(-4,2,6) |
|
|
56 |
(-1,2,0) |
(5,2,0) |
|
|
57 |
(-4,0,1) |
(1,2,0) |
|
|
58 |
(5,-1,0) |
(1,1,-1) |
|
|
59 |
(0,-1,1) |
(-1,2,-3) |
|
|
60 |
(-1,2,-7) |
(4,-1,3) |
|
|
В
задачах 61-70 найти, при каких действительных
x
и y
справедливо равенство, если
.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
В
задачах 71-80 записать комплексное число
z
в показательной форме. Вычислить
и
ответ записать в алгебраической форме.
|
z |
z1 |
z2 |
m |
n |
71 |
|
|
|
12 |
3 |
72 |
|
|
|
6 |
2 |
73 |
|
|
|
9 |
2 |
74 |
|
|
|
12 |
2 |
75 |
|
|
|
6 |
3 |
76 |
|
|
|
6 |
3 |
77 |
|
|
|
9 |
2 |
78 |
|
|
|
12 |
2 |
79 |
|
|
|
8 |
3 |
80 |
|
|
|
7 |
3 |
