Сведения, часто используемые при решении задач

1. Длина вектора
2. Проекция вектора на вектор :
3. Косинус угла между векторами и :
4. Вектора и перпендикулярны:
5. Вектора и коллинеарны: ||	Существует такое число λ, что
6. Вектора и компланарны, т.е. лежат в одной или параллельных плоскостях
7. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и
8. Объём параллелепипеда, построенного на векторах и
9. Работа силы при перемещении материальной точки из начала вектора в его конец
10. Момент силы , приложенной к концу вектора относительно его начала

Напомним ещё, что: площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах; объём тетраэдра, построенного на векторах , и , равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на этих же векторах.

Примеры: 20. На материальную точку действуют силы

, , .

Найти работу W равнодействующих этих сил при перемещении точки из положения А(2,-1,0) в положение В(4,1,-1).

Найдём равнодействующую

Найдём вектор перемещения

{4 -2, 1 -(-1), -1 -0}={2,2 ,-1}.

Найдём работу W:

2∙2 + 2∙2 + 1 ·(-1) = 4 + 4 - 1=7.

21. Сила приложена к точке А(2, -1, 1). Найти её момент относительно точки В(0, 0, 2).

Найдём вектор

= {2, -1, -1}.

Найдём момент

(Определитель вычислен разложением по элементам первой строки).

22. Пусть

Найти: длину вектора ;

проекцию вектора на вектор ;

площадь S параллелограмма, построенного на векторах и .

Найдём длину вектора

| |² = 9| |² - 6| || |·

+| |² = 9·4 - 6·2·4· +16 = 28

| | = .

Для вычисления проекции вычислим сначала .

=

= 12 | |² + 5 | || | 3| |² = 12·4 + 5·2·4· - 3·16 = 0.

Найдём теперь

=

Чтобы найти площадь S, найдём сначала

.

Вычислим :

| | ·| | · .

Наконец, вычислим площадь

23. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках А(2, -1, 1), В(5, 5, 4), С(3, 2, -1) и D(4, 1, 3).

Согласно перечисленным выше фактам,

V тетраэдра = 16 V параллелепипеда =

Вычислим

; ; .

.

V тетраэдра = · |-18| = -3.

Применение векторного исчисления

в аналитической геометрии

Приведём примеры вывода уравнений плоскости и прямой. Без дополнительных объяснений мы будем пользоваться тем, что начала векторов можно помещать там, где нам удобнее, перенеся векторы параллельно самим себе (напомним, что вектора определены с точностью до параллельного переноса).

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ перпендикулярную вектору .

Возьмём на плоскости произвольную точку и составим вектор.

_.

Так как _, то = 0.

В координатной форме последнее равенство запишется в виде:

=0

Это и есть уравнение искомой плоскости.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ параллельно векторам и .

Возьмём произвольную точку искомой плоскости. Составим вектор . Вектора , - компланарны, поэтому

0

или, через определитель, =0

Разлагая определитель по элементам первой строки, получим искомое уравнение плоскости

где .

Найти уравнение прямой, проходящей через точку М₀ параллельно вектору .

Возьмём на прямой произвольную точку . Составим вектор _. Вектора и параллельны. Условия параллельности векторов в координатной форме

.

Это каноническое уравнение прямой. Обозначим буквой t каждое из равных соотношений в канонических уравнениях

= t

Получим параметрические уравнения прямой

Эта форма уравнений удобна, например, при нахождении точки пересечения прямой и плоскости.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку М₀ перпендикулярно векторам и .

Из условия задачи следует, что прямая параллельна вектору . Но вектор и потому уравнение искомой прямой следующее (см. предыдущую задачу):

Далее, нужно уметь по виду уравнений устанавливать геометрические характеристики объекта, который задаётся ими.

Дано уравнение Аx + Вy + Cz + D = 0. Это уравнение плоскости, вектор нормали (перпендикуляр) к которой имеет координаты {А,В,С}.

Даны уравнения

Это уравнения прямой; она проходит через точку и параллельно вектору .

Дана система уравнений

Эти уравнения прямой (каждое уравнение – уравнение плоскости; система 2 уравнений плоскости – пересечение этих плоскостей, т.е. прямая).

Точка на прямой – любое решение этой системы.

Прямая параллельна вектору где - вектор нормали к плоскости А₁х + В₁у + C₁z + D₁ = 0, - вектор нормали к плоскости А₂х + В₂у + C₂z + D₂ = 0.

Приведём более сложные примеры.

Найти угол αмежду прямыми.

и .

Векторы и параллельны этим прямым и поэтому

.

Условие перпендикулярности 2 прямых:

, т.е. или =0.

Условие параллельности 2 прямых:

|| , т.е. или

Найти угол α между прямой и плоскостью Ах + Ву + Cz + D = 0.

Вектор параллелен прямой; вектор перпендикулярен плоскости. Имеем:

sinα = |cosB |= | | = = .

Условие параллельности прямой и плоскости:

или

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

|| или .

Пример 24. Даны точки А(-1, 2, 3), В(2, 2, -1) и С (5, 0, 4).

Найти: уравнение прямой АВ;

уравнение плоскости Р, проходящей через точку С и перпендикулярную прямой АВ;

точку пересечения прямой АВ и плоскости Р.

Вектор параллелен искомой прямой. Точка А лежит на прямой. Поэтому уравнения

и задают искомую прямую АВ.

Плоскость Р проходит через точку С и перпендикулярна вектору . Поэтому её уравнение имеет вид 3(х-5) + 0(у-0) - 4(z-4) = 0, т.е. 3х – 4z + 1 = 0.

Чтобы найти точку пересечения АВ с Р, запишем уравнения прямой в параметрической форме

и подставим их в уравнение плоскости Р:

3(3t-1) – 4(-4t+3) + 1 =0

25t – 14 = 0, t = .

Следовательно, искомая точка имеет координаты

; ; .