II. Пусть ƒ , . Найти ƒ .

Сначала восстановим формулу для ƒ .

ƒ = , где ,

Далее, вычислим , , .

; , .

Наконец, вычислим ƒ :

ƒ =

Определители

Определитель матрицы

Обычно обозначается через

или det .

Напомним, что только для квадратных матриц вводится понятие определителя. Определитель второго порядка вычисляется по формуле

Определитель n-го порядка, где n≥3, вычисляются, как правило, следующим образом: сначала, используя свойства определителей, последовательно понижают порядок определителя, сводя, в конце концов, задачу к вычислению определителей 2-го порядка по упомянутой выше формуле. Перечислим основные свойства определителей.

4. При перестановке двух строк определитель меняет знак.

5. Если две строки равны или элементы их пропорциональны, то определитель равен нулю.

6. Если все элементы строки умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.

7. Если к элементам одной сроки прибавить элементы другой, умножить на одно и то же число, то определитель не изменится.

Обратите особое внимание на свойство 4.

Пусть дан определитель

Если к элементам первой строки прибавить элементы второй строки, умноженные на 2, то определитель не изменится:

Однако определитель изменится, если вторую строку умножить на 2, а затем к полученным элементам добавить элементы первой строки:

Упражнение.

Не вычисляя определителей , , , сказать, какой из них - или равен .

, ,

Утверждение проверить, вычислив их.

Минором какого-нибудь элемента матрицы называется определитель матрицы, полученной из исходной вычёркиванием строки и столбца, пересекающихся на этом элементе. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма номеров вычёркиваемых строки и столбца чётная, и со знаком "-", если эта сумма нечётная.

5. Теорема разложения. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки матрицы на их алгебраические дополнения.

Например.

(разложение произведено по элементам первой строки). Теорему разложения особенно удобно применять в случае, если все элементы какой-нибудь строки матрицы, за исключением одного, равны нулю; в этом случае упомянутая в теореме сумма состоит всего из одного слагаемого.

Например,

(разложили по элементам второй строки).

6. Теорема аннулирования. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки равны нулю.

7. Теорема замещения. Если элементы какой-нибудь строки матрицы заменить другими числами, то определитель полученной матрицы равен сумме произведений элементов новой строки на алгебраические дополнения замененных элементов исходной матрицы.

8. Определитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы – строками. В частности, всё сказанное выше остаётся верным, если всюду слово "строка" заменить словом "столбец".

Примеры: 12. Вычислить определитель

ко второму столбцу прибавим четвёртый

из третьей строки вычтем удвоенную четвёртую = = ко второй строке прибавим первую и из третьей вычтем удвоенную первую

=

13. Вычислить определители матриц

и

Эти матрицы отличаются лишь второй строкой. Считаем алгебраические дополнения элементов второй строки матрицы

;

;

.

По теореме разложения (по второй строке)

По теореме замещения

Обратная матрица

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка. Матрица В (квадратная n-го порядка) называется обратной к А, если

, где

(Е – единичная матрица). Матрица В обозначается через А^-1.

Матрицу А^-1 находят следующим образом:

1. Вычисляют определитель матрицы А.

2. Если =0, то обратной матрицы не существует, и задача решена. Если , то ищут всеА_ίj – алгебраические дополнения элементов а_ίj матрицы А и полагают

Это и есть обратная матрица (обратите внимание, что в строках матрицы А^-1 стоят алгебраические дополнения столбцов матрицы А, делённые на значение !).

Пример 14. Существует ли для матрицы обратная матрица? Если существует, то найдите её.

Сначала вычислим определитель матрицы А.

из второй строчки вычитаем удвоенную первую строку, из третьей строки вычитаем первую строку =

Поскольку , то обратная матрица существует.

Далее ищем алгебраические дополнения

; ; ;

; ; ;

; ; .

Составим обратную матрицу

Проверим верность полученного результата, исходя из определения обратной матрицы:

Самостоятельно найдите . В случае, если , то обратная матрица найдена верно.

Решение систем линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными – это система вида

(1)

Матрица

Называется матрицей системы

Решение системы

по формулам Крамера

Пусть m=n и detA≠0. Положим =detA и обозначим через _k определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой k-го столбца столбцом сводных членов (k=1,2, …, n).

Решение может быть найдено по формулам:

, , ……,

Пример 15. Решить систему

Вычислим определитель матрицы системы

=3 + 2 + 24 + 4 – 4 + 9 = 38

Поскольку ≠0, решение системы существует, оно единственно и может быть найдено по формулам Крамера.

Вычислим

= -5 – 4 + 84 – 8 – 14 – 15 = 38

= 21 – 5 + 16 + 28 +10 + 16 = 76

= 6 – 14 – 30 – 5 – 8 – 63 = -114

(Определители вычислялись по правилу треугольника).

Находим решение по формулам Крамера:

, , .

Решение системы

матричным методом

Положим

и

Система (1) эквивалентна матричному уравнению

АХ = В (2)

Действительно, система (1) эквивалентна матричному уравнению

(3)

Так как (по определению) матрицы равны, если равны между собой элементы матриц, стоящие в строках с одинаковыми номерами. Далее, согласно определению произведения матриц

= ,

Так что левая часть равенства (3) совпадает с АХ. Следовательно, система (1) эквивалентна уравнению (2).

Предположим, что m = n и det А≠0, тогда существует А^-1. Для отыскания решения уравнения (2) нужно умножить обе части уравнения (2) на А^-1 слева. Получим:

А^-1АХ = А^-1В, ЕХ = А^-1В или Х = А^-1В.

Это и есть искомое решение задачи. Обратите внимание на то, что ВА^-1 не является решением уравнения (2)

Пример 16. Решить систему матричным методом.

Эта система эквивалентна матричному уравнению АХ = В, где

, , .

Найдём .

Следовательно, существует обратная матрица А^-1. Найдём её.

,

,

; Х = А^-1∙В

.

Следовательно, , . Сделаем проверку, подставив полученный результат в систему

Решение системы

Методом Гаусса

(методом исключения неизвестных)

В этом пункте рассматриваются системы линейных уравнений общего вида, т.е. m и n не обязательно равны, а если всё же равны, то необязательно чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

Метод состоит в том, что производя эквивалентные преобразования системы, исключающие неизвестные, приводят систему к «трапецеидальному» виду. Это можно осуществить, например, так. Пусть задана система (1). Вычтем из второго уравнения системы первое, умноженное на , из третьего – первое, умноженное на , из m-го – первое, умноженное на ; получим систему вида

и эта система эквивалентна исходной. Далее, вычтем из третьего уравнения второе, умноженное на , из четвёртого – второе, умноженное , из m-го – второе, умноженное на ; получим систему вида

и эта система эквивалентна исходной. Этот процесс производится до тех пор, пока не дойдём до последнего уравнения. Получим систему вида

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

и эта система эквивалентна исходной. Возможны три случая:

1. Хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Тогда система несовместна.

2. и . Система совместна, имеет единственное решение, и это решение находится, начиная с решения последнего нетривиального уравнения (т.е. начиная с ).

3. и < . Система совместна, имеет бесконечно много решений, и решения эти находятся следующим образом. Неизвестным ,… придаются произвольные значения; все остальные неизвестные выражаются через них, начиная с последнего нетривиального уравнения (т.е. начиная с ). Эти выражения и задают все решения системы.

При решении системы методом Гаусса все преобразования обычно производят не с системой, а с расширенной матрицей системы

Пример 17. Найти решение системы

методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы

Приведём матрицу к трапецеидальному виду

Первое преобразование состоит в том, что ко 2-й строке прибавляется первая, умноженная на 3, и что из 3-й строки вычитается первая, умноженная на 2. Второе преобразование – к третьей строке прибавляется вторая.

Составим систему, расширенная матрица которой

:

Находим решение системы:

т.е. .

Пример 18. Найти решение системы

методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы

Упрощаем матрицу

Восстанавливаем по последней матрице систему

Решаем эту систему

,

,

т.е. ,

Обратите внимание на то, что, поскольку преобразования матрицы должны соответствовать преобразованиям системы, оперировать можно только строками (умножать на число, складывать или вычитать, менять порядок), но не со столбцами матрицы.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторы

Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается через . Векторы называются равными, если они имеют равные длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Пусть задана прямоугольная система координат. Если координаты точек А и В - и , то координаты вектора - это числа , . В этом случае пишут = . Обычно через , обозначают векторы с началом в начале координат и концами в точках (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1) соответственно. Если то пишут также .

Таблица 1

Основные действия над векторами

1. Сумма векторов		Это вектор. Определяется либо по правилу параллелограмма, либо, что равносильно, по правилу треугольника
2. Произведение вектора на число λ		Это вектор. Длина его равна . Он параллелен вектору , направлен в ту же сторону, что и , если λ>0, и в противоположную сторону, если λ<0
3. Скалярное произведение векторов и	или	Это число. Оно равно
4. Векторное произведение векторов и	или	Это вектор. Длина его равна Он перпендикулярен векторам и направлен так, чтобы тройка векторов была правой
5. Смешанное произведение векторов		Это число. Оно равно или, что то же,

Обратите внимание, что .

Нарисуйте векторы, для которых: 1. ;

2. .

Далее, обратите внимание, что скалярное и смешанное произведения – числа, а векторное – вектор. Недопустимо говорить, что векторное произведение есть , так как векторное произведение – вектор, а - число (длина этого вектора). Кроме того, полезно запомнить, что и . Наконец, следует запомнить, что для скалярного умножения справедливы в с е без исключения правила алгебраического умножения, а для векторного умножения исключением является перестановочный закон, который заменяется правилом

,

так что, раскрывая скобки, следите за порядком сомножителей.

Пример 19. Вычислить , , .

;

;

Таблица 2