2. Теплопроводность

1. Температурное поле. Закон Фурье

Температурное поле – это совокупность значений температуры во всех точках тела в данный момент времени

(2.2.1)

Если температура зависит только от координат и не зависит от времени, то температурное поле называется стационарным, в противном случае температурное поле называется нестационарным.

(2.2.2)

Если температура зависит и от координат и от времени, то температурное поле называется нестационарным.

Если температура зависит только от двух координат температурное поле называется двумерным, если только от одной температурное поле называется одномерным.

Изотермическая поверхность – это геометрическое место точек с одинаковой температурой.

Градиент температуры – вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности и численно равный производной от температуры по этому направлению.

. (2.2.3)

По закону Фурье вектор плотности теплового потока, передаваемого теплопроводностью, пропорционален градиенту температуры:

(2.2.4)

где λ – коэффициент теплопроводности (Вт/м.К).

Знак “─” означает, что вектор направлен противоположно вектору

2. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности выводится на основе баланса энергии для элементарного объема и имеет вид:

, (2.2.5)

где λ - коэффициент теплопроводности,

с – теплоемкость,

ρ – плотность,

- коэффициент температуропроводности,

- плотность внутренних источников,

- оператор Лапласа.

При отсутствии внутренних источников ( =0):

(2.2.6)

При стационарном режиме

(2.2.7)

Эти дифференциальные уравнения характеризуют весь класс задач теплопроводности. Для выделения из него конкретной задачи необходимо присоединить дополнительные данные, которые характеризуют частные особенности конкретной задачи

Эти дополнительные данные называются краевыми условиями или условиями однозначности.

Геометрические – характеризуют форму размеры тела.

Физические – характеризуют физические свойства тела.

Временные – характеризуют распределение температуры в теле в начальный момент времени.

Граничные – характеризуют взаимодействие тела с окружающей средой.

Граничные условия первого рода – задается распределение температуры на поверхности тела в функциивремени.

Граничные условия второго рода – задается плотность теплового потока для всей поверхности тела в функциивремени.

Граничные условия третьего рода – задается температура окружающей среды и закон теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой, закон Ньютона – Рихмана:

(2.2.8)

температура поверхности тела,

температура окружающей среды,

коэффициент теплоотдачи (Вт/м²·К).