2.3.1.Синусоїдальна модель

У даній моделі профіль поверхні описується функцією

, (2.23)

де період S синусоїди одночасно є середнім кроком нерівностей профілю. Середньоарифметичне відхилення профілю на інтервалі L=S

. (2.24)

Середньоквадратичне відхилення профілю на інтервалі L=S

. (2.25)

Знайдемо функцію нахилів

. (2.26)

Тоді середньоквадратичне відхилення нахилів на інтервалі L=S

. (2.27)

Обернена функція до γ(х)

. (2.28)

Отже, функція розподілу нахилів для синусоїди

. (2.29)

Синусоїдальний профіль досить наближено описує реальні шорсткі поверхні, оскільки для них функція розподілу нахилів F_r(γ) близька до розподілу Гаусса (нормального розподілу), що значно відрізняється від F_r(γ) синусоїди (рис.2.6).

На основі синусоїдального профілю досить просто отримати рельєф шляхом паралельного перенесення профілю (рис.2.7а), при цьому отримуються характерні "гофровані" рельєфи. Накладання двох рельєфів із взаємно перпендикулярним напрямом нерівностей дозволяє отримати складніші за формою рельєфи (рис.2.7б).

Рис. 2.6. Нахили профілю y(x)=sin(2x/20) та його функція розподілу нахилів

а

б

Рис. 2.7. Рельєфи поверхні, отримані на основі синусоїдальних профілів

2.3.2.Модель нормального розподілу висот та нахилів поверхні

Для реальних поверхонь висоти профілю у(х) і кути нахилу γ(х) розподілені за законом, близьким до нормального. Отже, в даній моделі функцію розподілу висот профілю у(х) можна описати середньоквадратичним відхиленням R_q, а функцію розподілу нахилів F_r(γ) – параметром R_dq.

Якщо реальний профіль задано середньоарифметичною висотою нерівностей R_a, то середньоквадратична висота нерівностей R_q визначається зі співвідношення [2, с.56]

. (2.30)

Якщо просторові параметри профілю описано кореляційною довжиною L_a, то можна визначити середньоквадратичне відхилення R_dq для розподілу нахилів через параметри профілю

. (2.31)

2.4. Фрактальна модель поверхні

Виникнення фрактального підходу пов'язане зі складністю опису реальних природних об'єктів методами класичної геометрії, яка для цього виявилася надто "холодною" та "сухою". Методами класичної геометрії важко описати форму шорсткої поверхні кристала напівпровідника, шліфованої металічної поверхні або гірського ландшафту за допомогою традиційних геометричних об'єктів (прямих, трикутників, кіл, сфер, багатокутників). Загалом природні об'єкти мають надзвичайно високу складність, тому опис шорстких поверхонь за допомогою плоских мікроплощадок досить приблизний. Водночас такі складні об'єкти можна досить просто описати при використанні фракталів.

Вперше фрактальні властивості природи помітив математик Б.Мальденброт [8]. За визначенням Б. Мальденброта, фракталом називається множина (структура), фрактальна розмірність (розмірність Хаусдорфа – Безиковича), D_f якої строго більша від її топологічної розмірності D у звичайному (евклідовому) просторі. Як відомо, топологічною розмірністю множини у лінійному просторі розуміють число лінійно незалежних координат, тому вона завжди дорівнює цілому числу. Наприклад, плоскі лінії (коло і лінія) мають топологічну розмірність 1, поверхні (круг і квадрат) – 2, об'ємні тіла (куля і куб) – 3.

Існує також спрощене визначення фрактала: це структура, яка складається з частин, які в деякому розумінні подібні цілому. Для пояснення цього визначення розглянемо рельєф шорсткої поверхні. Вона складається з пагорбів, на яких містяться пагорби меншого розміру, на них – ще менші пагорби і так далі до найменшого масштабу. Тому, маючи тільки зовнішній вигляд фрактальної поверхні, неможливо оцінити її розміри.

Сам термін "фрактал" походить від англійського слова "fraction" – дріб (або від латинського слова "fractus" – дробовий), оскільки фрактали мають дробову (фрактальну) розмірність. Отже, основною особливістю фракталів є відмінність їх розмірності D_f від топологічної.

Для зв'язку фрактальної та топологічної розмірності використовують показник Херста Н, який обчислюється за формулою [8] H=D+1–D_f. Відповідно для профілю H=2–D_f, для рельєфу H=3–D_f.

Рис. 2.8. Покоління кривої Коха

Як приклад розглянемо один із відомих фрактальних об'єктів – тріадну криву Коха [8], побудова якої починається з відрізка одиничної довжини (рис.2.8) – це 0-ве покоління кривої Коха (n=0, де n – номер покоління). Далі кожна ланка (в нульовому поколінні один відрізок) замінюється на утворюючий елемент, позначений через фігуру для n=1. У результаті такої заміни утворюється наступне покоління кривої Коха. У першому поколінні – це крива з чотирьох прямолінійних ланок, кожна з яких має довжину 1/3. Далі кожний відрізок отриманої кривої замінюється так само. Отримана крива, крім самоподібності володіє ще однією цікавою властивістю: очевидно, що межа довжини L кривої при n, що прямує до безмежності, дорівнює безмежності. У цьому виявляється одна з найважливіших властивостей фракталів – залежність їх довжини від масштабу (ступеня деталізації). Самоподібність кривої Коха (рис.2.9) виявляється в тому, що окремий фрагмент кривої при відповідному збільшенні повторює вигляд усього фрактала.

Рис. 2.9. Самоподібність кривої Коха

На основі фрактального профілю (кривої Коха) можна побудувати рельєф, наприклад, паралельним перенесенням кривої на певну довжину. В результаті отримується "гофрована" поверхня, яка служить моделлю неоднорідного рельєфу.

Фрактальна крива Коха виглядає досить штучним об'єктом, оскіль-ки вона строго симетрична й регулярна. Для побудови (синтезу) близьких до реальних профілів і рельєфів поверхонь часто використовують алгоритм послідовних випадкових додавань Р.Ф.Фосса (додаток Б). Синтезовані за алгоритмом Фосса фрактальні профілі (рис.2.10), пейзажі та текстури виглядають настільки правдиво, що більшість людей сприймає їх як природні (рис.2.11). При цьому фрактали добре описують такі, здавалось би, різні об'єкти, як рельєф гірської (навіть місячної) поверхні та шорстку поверхню напівпровідників.

а б

Рис. 2.10. Фрактальні профілі, синтезовані за алгоритмом Фосса. Показник Херста Н=0,5 (а), Н=0,3 (б)

Більшість реальних поверхонь є фракталами, для яких висоти й нахили профілю розподілені за законом, близьким до нормального. Опишемо такий фрактальний профіль, як суму N синусоїд [8, С.213].

, (2.32)

де с_n – амплітуда гармоніки; T_n – період; K_С=0,9; K_T=0,55. Значення коефіцієнтів K_С і K_T підібрані так, щоб висоти профілю у(х) і кути нахилу γ(х) були розподілені за законом, близьким до нормального.

При моделюванні реальних поверхонь фрактальну модель профілю можна вибрати як перше наближення, а особливості конкретного профілю врахувати підбором значень амплітуд гармонік с_n.

Для більш повного аналізу профілів поверхні та інших кривих мож-на визначати їх фрактальну розмірність D_f, яка характеризує складність форми кривої. Фрактальну розмірність можна вимірювати методом довжини трикутників, який є модифікацією методу площ трикутних призм [10]. Відповідно до даного методу досліджувані криві визначаються набором відрізків, проекція яких на вісь абсцис дорівнює r. Для кожного значення r вимірюється довжина кривої L.

Фрактальна розмірність D_f кривої визначається за нахилом прямої, що описує залежність ln(L)=f(ln(r)) (рис.2.12) за формулою

. (2.33)

При цьому розмірності осей слід вибрати так, щоб вимірювати локальну, а не глобальну розмірність [8].

а

б

в

Рис. 2.11. Фрагменти рельєфів поверхні: а) фрагменти рельєфу місячної поверхні [11]; б) зображення поверхні плівок TiB₂ / GaAs, отримане за допомогою атомно-силового мікроскопу; розмір скану 1×1 мкм, висота – 200 нм, плівки відпалені при температурах 600°С і 800°С відповідно [1]; в) фрактальні рельєфи, отримані методом послідовних випадкових додавань Фосса для значень показника Херста Н=0,7 та Н=0,9

а б

Рис. 2.12 Визначення фрактальної розмірності кривих: а) диференціальна крива повного зовнішнього відбивання Х-променів для зразка GaAs; б) залежність довжини L кривої від довжини відрізка r

Отже, фрактальний підхід не тільки надає широкі можливості для аналізу форми різноманітних об'єктів (наприклад рельєфу поверхні), але й дозволяє синтезувати профілі й рельєфи поверхонь, близькі до реальних.