1. Заміна з’єднань динамічних ланок еквівалентними ланками.

ЗАДАЧА 1

Замінити з’єднання динамічних ланок, що приведене на рис. 1, еквівалентною ланкою. Визначити передатну функцію еквівалентної ланки та представити її у вигляді добутку передатних функцій елементарних ланок, визначити параметри елементарних ланок.

Рис.1

Розв’язання задачі

На схемі математичної моделі, що приведена на рис. 1, можна виділити зустрічно паралельне з'єднання ланок (ліва частина схеми), паралельне з'єднання ланок (права частина схеми) та з'єднану з ними послідовно інтегруючу ланку з коефіцієнтом підсилення 200.

Перетворимо ліву частину схеми. Заміна зустрічно паралельного з'єднання ланок еквівалентною ланкою здійснюється за правилом

, (1)

де - оператор передачі кола прямої передачі діянь;

- оператор передачі кола зворотного зв'язку.

Таким чином,

(2)

Перетворимо праву частину схеми. Оператор передачі ланки, еквівалентної паралельному з'єднанню ланок, дорівнює сумі операторів передачі ланок, що об'єднуються,:

. (3)

В результаті двох перетворень отримаємо схему математичної моделі, що приведена на рис. 2.

Рис. 2

Отже, маємо послідовне з'єднання трьох динамічних ланок. Оператор передачі ланки, еквівалентної послідовному з'єднанню ланок, дорівнює добутку операторів передачі ланок, що об'єднуються,:

. (4)

Передатна функція з'єднання динамічних ланок визначається по оператору передачі шляхом формальної заміни символу диференціювання D на змінну Лапласа p:

. (5)

Таким чином, в передатній функції можна виділити інтегруючу ланку з коефіцієнтом підсилення 10, форсуючу ланку з коефіцієнтом підсилення 1 та постійною часу 5 с та інерційну ланку з коефіцієнтом підсилення 1 та постійною часу 0,25 с.

2. Логарифмічні частотні характеристики елементарних ланок та їх послідовного з’єднання.

ЗАДАЧА 2¹

Знайти зв'язок між ЛАЧХ (ЛФЧХ) послідовного з'єднання ланок і ЛАЧХ (ЛФЧХ) ланок, що об'єднуються.

Розв’язання задачі

Як показано при рішенні задачі 1, передатна функція послідовного з'єднання динамічних ланок може бути представлена як добуток передатних функцій елементарних ланок

, (6)

де - передатна функція i-ої елементарної ланки.

Оскільки комплексна частотна характеристика може бути отримана по передатній функції шляхом формальної заміни на , аналогічний зв'язок має місце між КЧХ послідовного з'єднання і КЧХ елементарних ланок

. (7)

Для визначення логарифмічних частотних характеристик представимо КЧХ елементарних ланок у показниковій формі

, (8)

де і - амплітудно-частотна і фазочастотна характеристики i-ої елементарної ланки відповідно.

Підставляючи вираз (8) у (7), отримаємо

, (9)

звідки АЧХ послідовного з'єднання дорівнює добутку АЧХ елементарних ланок

, (10)

а ФЧХ послідовного з'єднання дорівнює сумі ФЧХ елементарних ланок

. (11)

Відповідно до виразу (10) ЛАЧХ послідовного з'єднання визначається виразом

, (12)

тобто дорівнює сумі ЛАЧХ елементарних ланок.

ЛФЧХ послідовного з'єднання визначається виразом (11), але повинна розглядатися як функція логарифма частоти, тобто ЛФЧХ послідовного з'єднання дорівнює сумі ЛФЧХ елементарних ланок.

Методичні вказівки: до початку рішення задачі роздати бланки з логарифмічним масштабом та поділити їх по вертикалі на дві однакові частини. ЛАЧХ усіх елементарних ланок (задача 3) будуються в верхній частині бланку, ЛАЧХ і ЛФЧХ послідовного з'єднання елементарних ланок (задачі 4, 6) будуються в нижній частині бланку. При побудові ЛАЧХ ціна ділення по осі ординат 4 дБ. Розмітку починають з 32 дБ у горі.

ЗАДАЧА 3

Записати передатну функцію і побудувати:

1) ЛАЧХ інтегруючої ланки з коефіцієнтом підсилення 100.

2) асимптотичну ЛАЧХ форсуючої ланки з коефіцієнтом підсилення 0,1 і постійною часу 2 с;

Розв’язання задачі

Для інтегруючої ланки спочатку записується передатна функція в загальному вигляді, потім підставляються чисельні данні

. (13)

Далі обговорюється хід ЛАЧХ та будується ЛАЧХ елементарної ланки: знаходиться точка з координатами (1;20lgK)

.

Через цю точку проводиться пряма з нахилом –20 Дб/дек.

ЛАЧХ інтегруючої ланки приведена на рис. 3.

Слід звернути увагу на наступне:

1) ЛАЧХ диференціюючої ланки відрізняється від ЛАЧХ інтегруючої ланки лише нахилом;

2) ЛАЧХ інтегруючої і диференціюючої ланки при побудові ЛАЧХ послідовного з'єднання елементарних ланок (додаванні ЛАЧХ елементарних ланок) будуть впливати на нахил ЛАЧХ в усьому діапазоні часот.

Для форсуючої ланки спочатку записується передатна функція в загальному вигляді, потім підставляються чисельні данні

. (14)

Далі обговорюється хід ЛАЧХ та будується ЛАЧХ елементарної ланки за наступним алгоритмом:

а) знаходиться частота спряження асимптот, як величина зворотна постійній часу ланки

;

б) знаходиться точка з координатами (1;20lgK)

.

Через цю точку пунктиром проводиться низькочастотна асимптота, яка наводиться суцільною лінією до частоти сполучення асимптот ;

в) починаючи з точки, де закінчилася низькочастотна асимптота на частоті сполучення асимптот , будується друга асимптота, яка для форсуючої ланки має нахил 20 дБ/дек.

ЛАЧХ форсуючої ланки приведена на рис. 3.

Слід звернути увагу на наступне:

1) ЛАЧХ інерційної та коливальної ланок, а також форсуючої ланки другого порядку відрізняється від ЛАЧХ форсуючої ланки лише нахилом;

2) у випадку, коли коефіцієнт підсилення вищевказаних ланок дорівнює 1, до частоти сполучення асимптот ЛАЧХ ланок проходить на рівні нуля. Отже при побудові ЛАЧХ послідовного з'єднання елементарних ланок (додаванні ЛАЧХ елементарних ланок) ці ланки слід ураховувати лише після їх частот сполучення асимптот.

Методичні вказівки: як висновок, що випливає з результатів задачі 3, формулюється методика побудови асимптотичної ЛАЧХ послідовного з'єднання елементарних ланок, яка дається курсантам під запис.

Методика побудови асимптотичної ЛАЧХ послідовного з'єднання елементарних ланок:

1) визначити частоти сполучення асимптот, як величини, зворотні постійним часу ланок; розмітити вісь абсцис таким чином, щоб можна було будувати залежність лівіше меншої та правіше більшої частот сполучення асимптот;

2) побудувати низькочастотну асимптоту, до якої відносять усі підсилювальні, інтегруючі і диференціюючі ланки. Низькочастотна асимптота являє собою пряму, що проходить через точку , де K – загальний коефіцієнт підсилення системи, що дорівнює добутку коефіцієнтів підсилення K_i всіх елементарних ланок. Низькочастотна асимптота має нахил дБ/дек, якщо є інтегруючих ланок, дБ/дек, якщо є диференціюючих ланок, і паралельна осі абсцис, якщо інтегруючих і диференціюючих ланок немає (їх кількість однакова);

3) змінити нахил ЛАЧХ після кожної частоти сполучення (у порядку їх зростання) на:

дБ/дек, якщо це частота сполучення інерційної (аперіодичної) ланки;

дБ/дек, якщо це частота сполучення форсуючої ланки;

дБ/дек, якщо це частота сполучення коливальної ланки;

дБ/дек, якщо це частота сполучення форсуючої ланки другого порядку.

ЗАДАЧА 4

Побудувати асимптотичну ЛАЧХ послідовного з’єднання елементарних ланок, що отримане при рішенні задачі 1.

Розв’язання задачі

Оскільки в задачі 1 отримана передатна функція, в якій визначені параметри елементарних ланок, зразу переходять до побудови асимптотичної ЛАЧХ за вищеприведеною методикою.

Слід звернути увагу на наступне: якщо в передатній функції в явному вигляді не визначені параметри елементарних ланок, її треба перетворити таким чином, щоб вільні члени поліномів відносно змінної Лапласа p в усіх дужках дорівнювали одиницям.

1. Визначають частоти сполучення асимптот, як величини зворотні постійним часу ланок, і нумерують їх у порядку зростання:

;

.

Розмічають вісь абсцис таким чином, щоб можна було будувати залежність лівіше меншої та правіше більшої частот сполучення асимптот.

2. Будують низькочастотну асимптоту пунктирною лінією. Для цього знаходять точку з координатами (1;20lgK)

.

Оскільки в заданій передатній функції можна виділити одну інтегруючу ланку, низькочастотна асимптота буде мати нахил –20 дБ/дек. Через знайдену точку з координатами (1;20) будують низькочастотну асимптоту пунктирною лінією.

Ліворуч меншої частоти сполучення асимптот низькочастотну асимптоту наводять суцільною лінією.

3. Змінюють нахил ЛАЧХ після частот сполучення асимптот:

а) після частоти , слід додатково ураховувати форсуючу ланку, яка додатково дає 20 дБ/дек. До частоти нахил ЛАЧХ був –20 дБ/дек, отже після нахил ЛАЧХ буде 0 дБ/дек (ЛАЧХ буде йти паралельно осі абсцис). Починаючи з точки, де закінчилася низькочастотна асимптота на частоті , будують пунктирною лінією пряму паралельну осі абсцис. Ліворуч частоти її наводять суцільною лінією;

б) після частоти слід додатково ураховувати інерційну ланку, яка додатково дає –20 дБ/дек. До частоти нахил ЛАЧХ був 0 дБ/дек, отже після нахил ЛАЧХ буде –20 дБ/дек. Починаючи з точки, де закінчився попередній відрізок ЛАЧХ на частоті , будують пунктирною лінією пряму з нахилом –20 дБ/дек. Оскільки всі ланки ураховані її наводять суцільною лінією.

ЛАЧХ послідовного з'єднання елементарних ланок приведена на рис. 4.

ЗАДАЧА 5¹

В изначити передатну функцію послідовного з’єднання елементарних ланок, ЛАЧХ якого приведена на рис. 5. Визначити параметри елементарних ланок.

Рис. 5

Розв’язання задачі

Для кожного відрізка ЛАЧХ спочатку з’ясовують, яка ланка (які ланки) можуть давати такий нахил ЛАЧХ (таку зміну нахилу ЛАЧХ), записують передатну функцію ланки (послідовного з'єднання ланок) в загальному вигляді, потім визначають параметри ланок.

Низькочастотна асимптота має нахил 20 дБ/дек, отже являє собою ЛАЧХ диференціюючої ланки. На частоті низькочастотна асимптота проходить на рівні 15дБ, отже

20lgK=15,

lgK=15/20=3/4=0,75,

K=10^0,75=5,6.

На частоті нахил ЛАЧХ змінюється з 20 дБ/дек до 0 дБ/дек. Таку зміну нахилу ЛАЧХ може забезпечувати лише інерційна ланка з постійною часу

.

На частоті нахил ЛАЧХ змінюється з 0 дБ/дек до –20 дБ/дек, отже в послідовному з'єднанні є ще одна інерційна ланка з постійною часу

.

Таким чином, передатна функція для з’єднання елементарних ланок, ЛАЧХ якого приведена на рис. 5, має вигляд

. (15)

Методичні вказівки: ЛФЧХ послідовного з'єднання елементарних ланок будуються в нижній частині бланку там же, де побудована ЛАЧХ з'єднання. При побудові ЛФЧХ ціна ділення по осі ординат 5 градусів. Розмітку починають з –5 градусів у горі.

ЗАДАЧА 6¹

Побудувати ЛФЧХ послідовного з’єднання елементарних ланок, що отримане при рішенні задачі 1.

Розв’язання задачі

Як показано при рішенні задачі 2, ЛФЧХ послідовного з’єднання динамічних ланок дорівнює сумі ЛФЧХ елементарних ланок. Оскільки в задачі 1, отримана передатна функція з'єднання елементарних ланок, в якій визначені параметри ланок, зразу записують вираз для ЛФЧХ з'єднання елементарних

, (16)

де =5 с, T=0,25 с.

ЛФЧХ послідовного з'єднання ланок будують по точках відповідно до виразу (16) на тому ж бланку з логарифмічним масштабом, де побудована ЛАЧХ. При побудові ЛФЧХ доцільно розглядати точки для частот, значення яких дорівнюють 1, 2, 5 та менше чи більше їх на цілу кількість декад (в межах інтервалу частот, де побудована ЛАЧХ). Частоти, для яких розраховувалися значення ЛФЧХ, та самі значення приведені в таблиці 1.

Таблиця 1

	0,01	0,02	0,05	0,1	0,2	0,5	1	2	5	10	20	50	100
	–87	–85	–77	–65	–48	–29	–25	–32	–54	–69	–79	–86	–88

ЛФЧХ приведена на рис. 4.

Підведення підсумків заняття.

Визначаються результати і недоліки в підготовці курсантів, оцінюється їх робота з виставленням оцінок у журналі обліку навчальних занять, дається завдання на самостійну роботу.

Завдання на самостійну роботу

Представити з'єднання динамічних ланок, приведене на рис. 6, у вигляді послідовного з'єднання елементарних ланок. Побудувати асимптотичну ЛАЧХ та ЛФЧХ отриманого послідовного з'єднання елементарних ланок.

Методичні вказівки: ЛАЧХ та ЛФЧХ послідовного з'єднання елементарних ланок будуються в нижній частині бланку там же, де побудована ЛАЧХ і ЛФЧХ на занятті, але іншим кольором. Розмітка осей для побудови ЛАЧХ і ЛФЧХ не змінюється.

Рис. 6

Розробив доцент кафедри №3 кандидат технічних наук

А.С.Чопенко

Методична розробка обговорена і ухвалена на засіданні ПМК протокол № 24 від 17 лютого 2004 року.

Голова ПМК–2 кафедри № 3

кандидат технічних наук