2.3. Метод исследования устойчивости а.М. Ляпунова.

Ляпунов разработал два общих метода исследования нелинейных систем. Однако первый метод применим только для исследования устойчивости в малом линеаризуемых систем. Рассмотрим подробнее второй метод Ляпунова.

Второй метод Ляпунова, называемый также прямым методом, дает достаточные условия устойчивости, то есть определяет часть области устойчивости. Идея метода наглядно объясняется с помощью метода фазового пространства.

Рассмотрим в фазовом пространстве замкнутую поверхность произвольной формы, описываемую уравнением:

(17)

Где V – функция координат , а С – параметр, определяющий величину функции. Каждому его значению соответствует определенная поверхность. С уменьшением С поверхность сжимается так, что поверхность, соответствующая меньшему С, находится целиком внутри поверхностей с большими значениями С. Если движение изображающей точки М происходит только внутрь поверхности, то этот факт может считаться достаточным признаком устойчивости системы, так как в этом случае все фазовые траектории неизбежно придут к началу координат.

При таком характере движения изображающей точки производная

функции должна быть отрицательна.

Пользуясь терминологией Ляпунова можно сформулировать следующее достаточное условие устойчивости:

если можно подобрать такую знакоопределенную функцию , производная которой по времени , согласно дифференциальным уравнениям системы, тоже является знакоопределенной функцией, но противоположного знака, то возмущенное движение асимптотически устойчиво.

Знакоопределенной называется функция, которая при всех значениях переменных имеет один знак, а в начале координат обращается в нуль. Например,

,

где а, b, с – постоянные положительные коэффициенты.

В случае, если производная обращается в нуль вне начала координат, получаем неасимптотическую устойчивость возмущенного движения системы. Графически это значит, что изображающая точка может застрять на определенной поверхности, где , не дойдя до начала координат.

Таким образом, суть прямого метода Ляпунова состоит в отыскании для исследуемой нелинейной системы функции V, удовлетворяющей выше указанному требованию. Такие функции называются функциями Ляпунова.

Преимущество метода Ляпунова заключается в том, что для определения знака производной вдоль фазовых траекторий не требуется решать дифференциальное уравнение динамики системы. Необходимо только представить его в форме Коши.

Применение прямого метода Ляпунова на практике осложнено двумя обстоятельствами:

- достаточным характером утверждений (т.е. если условия метода не выполняются, то об устойчивости положения равновесия ничего сказать нельзя, можно только порекомендовать подобрать другую функцию Ляпунова);

- отсутствием общих рекомендаций по выбору функций Ляпунова.

Рассмотрим пример исследования системы второго порядка прямым методом Ляпунова. Пусть динамика системы описывается системой дифференциальных уравнений в форме Коши:

Для исследования устойчивости по методу Ляпунова необходимо подобрать знакоопределенную функцию V второго порядка. Пусть она имеет вид:

Найдем ее производную

Сравним полученное выражение с нулем. Как видно, при любых не равных нулю значениях и производная . При . Следовательно, исследуемая система асимптотически устойчива.