Введение

Л егко посчитать площадь прямоугольника на клетчатой бумаге, если его вершины находятся в узлах¹ сетки, а стороны параллельны ей. Но если требуется рассмотреть более сложный многоугольник, задача становиться почти не выполнимой, а если уж и удается вычислить площадь фигуры, то она, скорее всего, является приблизительной. Однако, в этом случае на помощь может прийти формула Пика. Формула Пика – это формула, позволяющая находить площадь многоугольника на сетке. Формула справедлива для многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки. Она гласит, что площадь многоугольника с вершинами в узлах равна сумме числа узлов, находящихся внутри многоугольника, половины числа узлов, находящихся на границе фигуры и минус единицы[1].

S= В+Г/2−1

Где В − число узлов внутри многоугольника (красные точки), Г− число узлов на границе (синие) (см. рис. 1).

Данную формулу в 1899 году вывел австрийский математик Георг Пик.

Целью данной работы является обобщение формулы Пика для других видов решеток.

Под обобщением формулы Пика подразумевается выведение формул для разных видов решетки, с помощью которой можно будет найти площадь многоугольников, таких что:

1. вершины многоугольников лежат в узлах сетки

2. данные о многоугольнике, которыми мы оперируем, ограничивается информацией о количестве узлов разного типа, входящих в состав многоугольника.

В ходе выполнения работы рассматриваются:

1. параллелограммная решетка[2];

2. треугольная решетка;

3. шестиугольная решетка.

Параллелограммная решетка

Р ассмотрим решетку (см. рис. 2), состоящую из параллелограммов. Площадь единичного параллелограмма равна 1. Доказательство формулы Пика для клетчатой решетки не использует прямоугольность решетки. Поэтому формула для параллелограммной решетки будет такая же, как и для обычной клетчатой решетки.

S= В+Г/2−1.

Треугольная решетка

Р ассмотрим решетку, состоящую из треугольников (см. рис. 3). Площадь единичного треугольника равна 1. Отказавшись от прямых типа А, мы получаем параллелограммную решетку без изменения узлов сетки. Площадь единичного параллелограмма в данном случае рана 2. Поэтому площадь многоугольника будет в два раза больше. Таким образом, обобщенная формула Пика для треугольной сетки равна S=2В+Г−2.

Шестиугольная решетка.

Д алее переходим на более сложную решетку – шестиугольную. Данная решетка состоит из правильных шестиугольников. Формула, веденная для треугольника на данной решетке не действительна. В этом можно убедиться, начертив простой треугольник,− треугольник, в состав которого входят три узла на границах и ни одного внутри, по формуле для треугольной сетки его площадь равна 1, что на самом деле не всегда так, площадь простого треугольника варьируется (см. рис. 4).

Нам известно, что любую фигуру можно поделить на треугольники [3].

Докажем, что любой треугольник можно разделить на простые треугольники, для того чтобы доказать, что любой многоугольник можно поделить на простые треугольники. Доказав это появиться возможность ограничить простой треугольник сверх и снизу, тем самым ограничив площадь многоугольника.

Теорема о делении треугольника на простые треугольники.

Т реугольник, расположенный на сетке, вершины которого лежат в узлах сетки. Выберем любой узел внутри или на границе треугольника и соединим его с вершинами треугольника. Таким образом, если выбранный узел находился внутри, то мы получим три треугольника, если же узел был на границе, то получиться два треугольника. Повторяем данную операцию с каждым из полученных треугольников. Таким образом, каждый треугольник вершинами в узлах сетки можно поделить на простые треугольники (см. рис. 5).

Что и требовалось доказать.

Следовательно, каждый многоугольник можно разделить на простые треугольники.

Т еперь добавим в сетку дополнительный узел, равноудаленный от вершин шестиугольника, в котором он находиться. Назовем данные узлы красными, а узлы в вершинах шестиугольников − черными (см. рис. 6). Таким образом, образовывается треугольная сетка. Исходя из получившейся сетки, мы можем ограничить площадь простого треугольника, расположенного на шестиугольной сетке. S≥1.

Далее нам нужно оценить площадь простого треугольника сверху. Для этого докажем что, количество дополнительных точек внутри треугольника ограничено.

Н о для начала, докажем, что вектор, проведенный от одной красной точки к другой, или его зеркальное отражение можно без пересечений со сторонами треугольника перенести в одну из вершин треугольника.

Теорема о векторе, переносимом в вершину треугольника.

Проведем вектор от одной красной точки к другой. Рассмотрим прямые a, b и с, проходящие через вершины треугольника А, В и С соответственно (см. рис. 7).

 Пусть ни одна из них не имеет с треугольником две общие точки.

Можно считать, что – прямая b, проходящая проходит между прямыми а и с.

При пересечении прямых секущей данное отношение должно сохраняться при проекции.

Следовательно точка пересечения со стороной треугольника лежит между А и С.

По предположению она не может быть пересечена отрезком АС.

Возникает противоречие. Значит прямая b пересекает отрезок АС.

Следовательно, в эту вершину можно перенести без пересечений со сторонами треугольника вектор, проведенный из одной красной точки в другую, или его зеркальное отражение.

Ч то и требовалось доказать.

Теорема о двух красных точках в треугольнике.

Рассмотрим треугольник, которому принадлежат две красные точки.

Проведем вектор от одной красной точки к другой. Назовем его ОО₁ .

Отложим вектор, проходящий от одной красной точки к другой, или его зеркальное отражение в вершине треугольника. Назовем его АА₁ .

При параллельном переносе угла ВАС на вектор ОО₁ получаем угол В₁А₁С₁ (см. рис. 8).

АА₁ и ОО₁ параллельны и равны.

Значит А₁О₁ОА − параллелограмм, значит АА₁ и ОО₁  равны и параллельны.

З начит А₁ вершина шестиугольника.

Таким образом, наличие в треугольнике двух красных узлов влечет за собой наличие еще одного черного.

Что и требовалось доказать.

Из этого мы делаем вывод, что в простом треугольнике не может быть более одной красной точки, так как если их будет больше, добавляется еще один черный узел и треугольник перестает быть простым. Благодаря этому мы можем ограничить площадь простого треугольника на шестиугольной сетке. 1 ≤ S ≤ 3 (см. рис. 9).

Теорема о площади многоугольника на шестиугольной решетке.

Докажем, что если неравенство 1≤S≤3 действительно для простого треугольников, то аналогичное неравенство выполняется и для многоугольника.

Формулу 1≤S≤3 можно расписать, как 2*В+Г−2≤ S≤3*(2*В+Г−2).

Рассмотрим многоугольник на шестиугольной сетке, образованный из двух простых треугольников.

Мы знаем, что неравенство верно для данных простого треугольника₁ и простого треугольника₂.

2*В₁+Г₁−2≤ S₁≤3*(2*В₁+Г₁−2).

2*В₂+Г₂−2≤ S₂≤3*(2*В₂+Г₂−2).

Выразим количество внутренних узлов многоугольника, состоящего из простых треугольников.

В₁+В₂+(с−2)≤В₁₊₂≤ 3*(В₁+В₂+(с−2)).

с – количество общих узлов простых треугольников. Треугольник₁ и треугольник₂ имеют общую сторону. Поэтому все узлы лежащие на этой стороне, кроме двух вершин становиться внутренними точками многоугольника.

Выразим количество узлов на границе многоугольника, состоящего из двух простых треугольников.

Г₁+Г₂−2*(с−2)−2≤Г₁₊₂≤ 3*(Г₁+Г₂−2*(с−2)−2).

Из этих неравенств следует, что

В₁+В₂+(с−2)≤В₁+В₂≤ 3*(В₁+В₂+(с−2)).

Значит

В₁+В₂= В₁₊₂−(с−2).

Г₁+Г₂−2*(с−2)−2≤ Г₁+Г₂≤ 3*(Г₁+Г₂−2*(с−2)−2).

Значит

Г₁+Г₂ = Г₁+Г₂+2*(с−2)+2.

Так как для простого треугольника₁ и для простого треугольника₂ неравенство верно, то

S₁+S₂≤S₁₊₂≤3*(S₁+S₂).

По обобщенной формуле Пика для треугольной решетки

S₁+S₂≤S₁₊₂≤3*(S₁+S₂) =

=2*(В₁+В₂+(с−2)) + Г₁+Г₂−2*(с−2)−2−2≤S₁₊₂≤3*(2*(В₁+В₂+(с−2))+ Г₁+Г₂−2*(с−2)−2−2)=

=2*В₁+2*В₂+2*с−4+Г₁+Г₂−2*с+4−2≤S₁₊₂≤6*В₁+6*В₂+6*с−12+3*Г₁+3*Г₂−6*с+12−6−6=

=2*(В₁+В₂)+(Г₁+Г₂)−2≤S₁₊₂≤3*(2*(В₁+В₂)+Г₁+Г₂−2).

Таким образом, если неравенство верно для площади простых треугольников, то аналогичное неравенство верно и для площади многоугольника.

Что и требовалось доказать.

Из теоремы о площади многоугольника на шестиугольной решетке следует

2*В+Г−2≤S≤3*(2*В+Г−2).

Заключение.

В итоге работы было проведено исследование площадей многоугольников, с вершинами расположенными в узлах, на трех типах решеток: параллелограммной, треугольной и шестиугольной. Особое внимание было уделено последней. В результате длинной цепочки доказательств, было выяснено, что в случае шестиугольной решетки формула обращается в неравенство.

В дальнейшем исследование может быть продолжено. Далее возможно обобщение формулы Пика для архимедовых решеток. Для чего можно использовать подобную технику исследования.