Лабораторна робота № 4.
Тема : Перевірка гіпотези про узгодженість статистичного і теоретичного розподілів за допомогою критерію .
План.
Контроль готовності студентів до занять
Теоретичні відомості про критерій Пірсона.
Вихідні дані і обчислення частот теоретичного розподілу на основі функції Лапласа.
Обчислення критерію і висновки.
Хід лабораторної роботи.
Контрольні запитання:
означення статистичної гіпотези;
як формулюється статистична гіпотеза;
статистичний критерій;
помилки І і ІІ роду при перевірці гіпотез;
назвати найуживаніші статистичні критерії;
Теоретичні відомості про критерій Пірсона.
Питання
про узгодженість статистичного і
теоретичного розподілів вирішується,
як правило, на основі застосування
критерію
Пірсона. Якщо позначити статистичні і
теоретичні частоти розподілу через
і
,
де
- номер інтервалу статистичного розподілу,
то значення критерію
обчислюється на основі
по формулі:
, (4.1)
де
-
число інтервалів гістограми. Оскільки
нам відомі лише
,
а теоретичні частоти
невідомі, то вся складність застосування
критерію
якраз і полягає в обчисленні
.
Найбільш поширеним в практичному застосуванні є нормальний розподіл або розподіл Гаусса, тому найчастіше перевіряють узгодженість експериментальних даних саме з цим розподілом.
Розподіл Гаусса має наступну щільність:
, (4.2)
де
і
є параметрами розподілу. Для емпіричного
розподілу
і
знаходять за формулами:
(4.3)
Теоретичні частоти в - тому інтервалі знаходять по формулі:
, (4.4)
де
відповідно ліва і права границя
-
того інтервалу, а
значення функції Лапласа, взяті із
таблиці додатку 1 по аргументам
;
- загальне число спостережень.
Знайшовши по формулі (4.4) обчислюємо значення по формулі (4.1). Гіпотеза про узгодженість статистичного і теоретичного розподілів перевіряється на основі нерівності:
, (4.5)
де
значення зліва обчислене за формулою
(4.1), а справа знаходиться критичне
значення
,
яке вибирають із таблиці додатку 3 в
залежності від
-рівня
ризику і значення
,
де
число параметрів теоретичного закону
розподілу.
Якщо нерівність (4.5) підтверджується, то це свідчить про те, що вибраний теоретичний закон розподілу узгоджується із статистичним. Якщо ж наявні експериментальні дані не підтверджують нерівність (4.5), то кажуть, що даний статистичний розподіл не узгоджується з теоретичним і потрібно шукати інший теоретичний закон, щоб змоделювати даний статистичний розподіл.
3. Вихідні дані і обчислення частот теоретичного розподілу на основі функції Лапласа.
Для нашого дослідження використаємо статистичний розподіл концентрації альбуміну в крові 70 жінок (табл.1.2).
Як
бачимо, з формули (4.4), для обчислення
аргументів функції Лапласа потрібно
знати
і
статистичного розподілу. Ці значення
ми вже отримали раніше:
(п. 2.1 лабораторної роботи № 2),
апліса
потрібно знати нтів функції нок ()тичний
розподжіл ичний розподіл.
оділ
Гаусса, критерію
Обчислення теоретичних частот розподілу за знайденими і доцільно вести по такій схемі (табл. 4.1).
Таблиця 4.1.
Обчислення теоретичних частот і значення критерію для статистичного розподілу концентрації альбуміну в крові 70 жінок-спортсменок
Інтервали
групуван-ня:
|
|
Значення
функції Лапласа
|
|
|
|
|
|
30 |
-2,182 |
-0,48537 |
0,03587 0,08736 0,15502 0,20712 0,20712 0,15502 0,08736 0,03587 0,01136 |
4 7 9 15 16 9 6 3 1 |
2,5 6,1 10,8 14,5 14,5 10,8 6,1 2,5 0,8 |
1,5 0,9 -1,8 0,5 1,5 -1,8 -0,1 0,5 0,2 |
0,900 0,133 0,300 0,017 0,155 0,300 0,002 0,100 0,050 |
33 |
-1,636 |
-1,44950 |
|||||
36 |
-1,091 |
-0,36214 |
|||||
39 |
-0,545 |
-0,20712 |
|||||
42 |
0 |
0,00000 |
|||||
45 |
0,545 |
0,20712 |
|||||
48 |
1,091 |
0,36214 |
|||||
51 |
1,636 |
0,44950 |
|||||
54 |
2,182 |
0,48537 |
|||||
57 |
2,727 |
0,49683 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1,957 |
Вихідні дані колонки 1 табл. 4.1 вибирають із табл. 1.2, колонка 1 лабораторної роботи № 1 при цьому інтервали записують вертикально як указано в табл. 4.1. Дані в колонці 2 обчислюють значення аргументу і функції Лапласа для границь інтервалів указаних в колонці 1, при цьому зверху колонки 2 записують значення і знайдені для свого варіанту завдання відповідно в лабораторних роботах № 2 і № 3. Наприклад, перше і друге значення аргументу функції Лапласа обчислюється так:
і т.д.
При
цьому значення
не
обов’язково мусять бути симетричними
як в табл. 4.1. Значення функції Лапласа
в колонку 3 виписують із таблиці додатку
1 по значенню аргумента
,
наприклад,
пам’ятаючи, що функція Лапласа непарна, тобто:
.
Імовірність
попадання спостереження в і-тий інтервал
обчислюють як різницю значень функцій
Лапласа знайдених для правої і лівої
границі цього ж інтервалу:
,
наприклад, для першого інтервалу 33-30 маємо:
,
для другого інтервалу 36-33 отримаємо:
і т.д.
Значення обчислені для всіх інтервалів, наведені в четвертій колонці табл..4.1 В п’яту колонку цієї ж таблиці заносимо емпіричні частоти, виписавши їх з колонки 2 табл.1.2 (лабораторна робота № 1). В колонці 6 табл.4.1, записуємо теоретичні частоти, обчислюючи їх за формулою:
,
де
.
Для нашого прикладу,
.
В колонці 7 записуємо різниці частот
,
частота
- в колонці 5 табл. 4.1, а частота
-
в колонці 6, наприклад, для першого
інтервалу:
,
для другого інтервалу:
і т. д.
На основі
різниць
і значень
обчислюємо величини
,
для другого:
і т. д.
Сумуючи всі числа колонки 8, отримуємо значення критерію Пірсона:
.
На кінець перевіряємо нерівність (4.5):
(4.6)
Значення
вибираємо із таблиці додатку 3 в залежності
від значення ризику
,
який приймають, як правило, рівним 0,05 і
числа
.
Отже,
.
Таким чином, нерівність (4.6) підтверджується.
А це значить, що можна зробити
науково-обґрунтований висновок про те,
що розподіл концентрації альбуміну в
крові жінок підкоряється теоретичному
розподілу Гаусса. Для того, щоб побачити
характер цього закону нанесемо теоретичні
частоти на рис. 1 лабораторної роботи №
1 і таким чином проілюструємо знайдену
нами математичну модель досліджуваного
явища.
ДОДАТКИ. Математичні статистичні таблиці, необхідні для виконання лабораторних робіт і самостійної роботи
Додаток 1.
Таблиця
значень функції Лапласа
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0,0 |
0,00000 |
00399 |
00798 |
01197 |
01595 |
01994 |
02392 |
02790 |
03188 |
03586 |
0,1 |
03983 |
04380 |
04776 |
05172 |
05567 |
05962 |
06356 |
06749 |
07142 |
07535 |
0,2 |
07926 |
08317 |
08706 |
09095 |
09483 |
09871 |
10257 |
10642 |
11026 |
11409 |
0,3 |
11791 |
12172 |
125552 |
12930 |
13307 |
13683 |
14058 |
14431 |
14803 |
15173 |
0,4 |
15542 |
15910 |
16276 |
16640 |
17003 |
17364 |
17724 |
18082 |
18439 |
18793 |
0,5 |
19146 |
19497 |
19847 |
20194 |
20540 |
20884 |
21226 |
21560 |
21901 |
22240 |
0,6 |
22575 |
22907 |
23237 |
23565 |
23891 |
24215 |
24537 |
24857 |
25175 |
25490 |
0,7 |
25804 |
20115 |
26424 |
26730 |
27035 |
27337 |
27637 |
27935 |
28230 |
28524 |
0,8 |
28814 |
29103 |
29389 |
29673 |
29955 |
30234 |
30511 |
30785 |
31057 |
31327 |
0,9 |
31594 |
31859 |
32121 |
32381 |
32639 |
32894 |
33147 |
33398 |
33646 |
33891 |
1,0 |
34134 |
34375 |
34614 |
34850 |
35083 |
35314 |
35543 |
35769 |
35993 |
36214 |
1,1 |
36433 |
36650 |
36864 |
37076 |
37286 |
37493 |
37698 |
37900 |
39100 |
38298 |
1,2 |
38493 |
38686 |
38877 |
39065 |
39251 |
39435 |
39617 |
39796 |
39973 |
40147 |
1,3 |
40320 |
40490 |
40658 |
40824 |
40988 |
41149 |
41309 |
41466 |
41621 |
41774 |
1,4 |
41924 |
42073 |
42220 |
42364 |
42507 |
42647 |
42786 |
42922 |
43056 |
43189 |
1,5 |
43319 |
43448 |
43574 |
43699 |
43822 |
43943 |
44062 |
44179 |
44295 |
44408 |
1,6 |
44520 |
44630 |
44738 |
44845 |
44950 |
45053 |
45154 |
45254 |
45352 |
45449 |
1,7 |
45543 |
45637 |
45728 |
45818 |
45907 |
45994 |
46080 |
46164 |
46246 |
46327 |
1,8 |
46407 |
46485 |
46562 |
46638 |
46712 |
46784 |
46856 |
46926 |
46995 |
47062 |
1,9 |
47128 |
47193 |
47257 |
47320 |
47381 |
47441 |
47500 |
47558 |
47615 |
47670 |
2,0 |
47725 |
47778 |
47831 |
47882 |
47932 |
47982 |
48030 |
48077 |
48124 |
48169 |
2,1 |
48214 |
48257 |
48300 |
48311 |
48382 |
48422 |
48461 |
48500 |
48537 |
48574 |
2,2 |
48610 |
48645 |
48679 |
48713 |
48745 |
48778 |
48809 |
48840 |
48870 |
48899 |
2,3 |
48928 |
48956 |
48983 |
49010 |
49036 |
49061 |
49086 |
49111 |
49134 |
49158 |
2,4 |
49180 |
49202 |
49224 |
49215 |
49266 |
49286 |
49305 |
49124 |
49343 |
49361 |
2,5 |
49379 |
49390 |
49413 |
49430 |
49446 |
49461 |
49477 |
49492 |
49506 |
49520 |
2,6 |
49534 |
49547 |
49560 |
49573 |
49585 |
49598 |
49609 |
49621 |
49632 |
49643 |
2,7 |
49653 |
49664 |
49674 |
49683 |
49613 |
49702 |
49711 |
49720 |
49728 |
49736 |
2,8 |
49744 |
49752 |
49760 |
49767 |
49774 |
49781 |
49788 |
49795 |
49801 |
49807 |
2,9 |
49813 |
49819 |
49825 |
49831 |
49836 |
49841 |
49846 |
49851 |
49856 |
49861 |
3,0 |
49865 |
3,5 |
49977 |
4,0 |
499968 |
|
|
|
|
|
3,1 |
49903 |
3,6 |
49984 |
4,5 |
499997 |
|
|
|
|
|
3,2 |
49931 |
3,7 |
49989 |
5,0 |
49999997 |
|
|
|
|
|
3,3 |
49952 |
3,8 |
49993 |
|
|
|
|
|
|
|
3,4 |
49966 |
3,9 |
49995 |
|
|
|
|
|
|
|
Додаток 2.
Таблиця значень
функції
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0.0 |
0.398942 |
398922 |
398862 |
398763 |
398623 |
398444 |
398225 |
397966 |
397658 |
397330 |
0.1 |
396953 |
396536 |
396080 |
395585 |
395052 |
394479 |
393868 |
396219 |
392531 |
391806 |
0.2 |
391043 |
390242 |
389404 |
388529 |
387618 |
386668 |
385683 |
384663 |
383606 |
382515 |
0.3 |
381388 |
380226 |
379031 |
377801 |
376537 |
375240 |
373911 |
372548 |
371154 |
369728 |
0.4 |
368270 |
366782 |
365263 |
363714 |
362135 |
360527 |
358890 |
357225 |
355533 |
353812 |
0.5 |
352065 |
350292 |
348493 |
346668 |
344818 |
342944 |
341046 |
339124 |
337180 |
335213 |
0.6 |
333225 |
331215 |
329184 |
327133 |
325062 |
322972 |
320864 |
318737 |
316593 |
314432 |
0.7 |
312254 |
310060 |
307851 |
305627 |
303389 |
301137 |
298872 |
296595 |
294305 |
292004 |
0.8 |
289692 |
287369 |
285036 |
282694 |
280344 |
277985 |
275618 |
273244 |
270864 |
268477 |
0.9 |
266085 |
263088 |
261286 |
258881 |
256471 |
254050 |
251644 |
249228 |
246809 |
244390 |
1.0 |
241971 |
239551 |
237132 |
234714 |
232297 |
229882 |
227470 |
225060 |
222653 |
220251 |
1.1 |
217852 |
215458 |
213069 |
210686 |
208308 |
205936 |
203571 |
2012014 |
198863 |
196520 |
1.2 |
194186 |
191860 |
189543 |
187235 |
184937 |
182649 |
180371 |
178104 |
175847 |
173602 |
1.3 |
171369 |
169147 |
166937 |
164740 |
162555 |
160383 |
158225 |
156080 |
153948 |
151831 |
1.4 |
149727 |
147639 |
145564 |
143505 |
141460 |
139431 |
137417 |
135418 |
133435 |
131468 |
1.5 |
129518 |
127583 |
125665 |
123763 |
121878 |
120009 |
118157 |
116323 |
114505 |
112704 |
1.6 |
110921 |
109155 |
107406 |
105675 |
103961 |
102265 |
100586 |
098925 |
097282 |
09657 |
1.7 |
094049 |
092459 |
090887 |
089333 |
087796 |
086277 |
084776 |
083293 |
081828 |
080380 |
1.8 |
078950 |
077538 |
076143 |
074766 |
073407 |
072065 |
070740 |
069433 |
068144 |
066871 |
1.9 |
065616 |
064378 |
063157 |
061952 |
060765 |
059595 |
058441 |
057304 |
056183 |
055079 |
2.0 |
053991 |
052919 |
051864 |
050824 |
049800 |
048792 |
047800 |
046823 |
045861 |
044915 |
2.1 |
043984 |
043067 |
042166 |
041280 |
040408 |
039550 |
038707 |
037878 |
037063 |
036262 |
2.2 |
035475 |
034701 |
033941 |
033194 |
032460 |
031740 |
031032 |
030337 |
029655 |
028985 |
2.3 |
028327 |
027682 |
027048 |
026426 |
025817 |
025218 |
024631 |
024056 |
023491 |
022937 |
2.4 |
022395 |
021862 |
021341 |
020829 |
020328 |
019837 |
019356 |
018885 |
018423 |
017971 |
2.5 |
017528 |
017095 |
016670 |
016254 |
015848 |
015449 |
015060 |
014678 |
014305 |
013940 |
2.6 |
013583 |
013234 |
012892 |
012558 |
012232 |
011912 |
011600 |
011295 |
010997 |
010706 |
2.7 |
010421 |
010143 |
009871 |
009606 |
009347 |
009094 |
008846 |
008605 |
008370 |
008140 |
2.8 |
007915 |
007697 |
007483 |
007274 |
007071 |
006873 |
006679 |
006491 |
006307 |
006127 |
2.9 |
005953 |
005782 |
005616 |
005454 |
005296 |
005143 |
004993 |
004847 |
004705 |
004567 |
3.0 |
0044318 |
032668 |
023841 |
017226 |
012322 |
008727 |
006119 |
004248 |
002919 |
001987 |
4.0 |
0001338 |
000893 |
000589 |
000385 |
000249 |
000160 |
000101 |
000064 |
000040 |
000024 |
Продовження додатку 2
|
|
|
|
|
|
|
|
4.0 |
0.000133830225765 |
5.0 |
000001486719515 |
6.0 |
000000006075883 |
7.0 |
000000000009135 |
1 |
000089261657177 |
1 |
000000897243516 |
1 |
000000003317884 |
1 |
000000000004514 |
2 |
000058943067757 |
2 |
000000536103534 |
2 |
000000001793784 |
2 |
000000000002208 |
3 |
000038535196742 |
3 |
000000317134922 |
3 |
000000000960143 |
3 |
000000000001069 |
4 |
000024942471290 |
4 |
000000185736184 |
4 |
000000000508814 |
4 |
000000000000513 |
5 |
000015983741107 |
5 |
000000107697600 |
5 |
000000000266956 |
5 |
000000000000243 |
6 |
000010140852065 |
6 |
000000061826205 |
6 |
000000000138668 |
6 |
000000000000114 |
7 |
000006369825179 |
7 |
000000035139551 |
7 |
000000000071313 |
7 |
000000000000053 |
8 |
000003961299091 |
8 |
000000019773196 |
8 |
000000000036310 |
8 |
000000000000025 |
9 |
000002438960746 |
9 |
000000011015764 |
9 |
000000000018303 |
9 |
000000000000011 |
|
|
|
|
|
|
8.0 |
000000000000005 |
|
|
|
|
|
|
1 |
000000000000002 |
|
|
|
|
|
|
2 |
000000000000001 |
Додаток 3.
Розподіл
Пірсона (
-
розподіл). Значення
для ймовірності
.
|
0.30 |
0.25 |
0.20 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.02 |
0.01 |
0.005 |
0.001 |
1 |
1.074 |
0.323 |
1.642 |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
5.412 |
6.635 |
7.879 |
10.827 |
2 |
2.408 |
2.773 |
3.219 |
4.605 |
5.991 |
7.378 |
7.824 |
9.21 |
10.597 |
13.815 |
3 |
3.665 |
4.108 |
4.642 |
6.251 |
7.815 |
9.348 |
9.837 |
11.345 |
12.838 |
16.268 |
4 |
4.878 |
5.385 |
5.989 |
7.779 |
9.488 |
11.143 |
11.668 |
13.277 |
14.860 |
18.465 |
5 |
6.064 |
6.626 |
7.289 |
9.236 |
11.070 |
12.839 |
13.388 |
15.086 |
16.750 |
20.517 |
6 |
7.231 |
7.841 |
8.558 |
10.645 |
12.592 |
14.449 |
15.033 |
16.812 |
18.548 |
22.457 |
7 |
8.383 |
9.037 |
9.803 |
12.017 |
14.067 |
16.013 |
16.622 |
18.475 |
20.278 |
24.322 |
8 |
9.524 |
10.219 |
11.030 |
13.362 |
15.507 |
17.535 |
18.168 |
20.090 |
21.955 |
26.125 |
9 |
10.656 |
11.3889 |
12.242 |
14.684 |
16.919 |
19.023 |
19.679 |
21.666 |
23.589 |
27.877 |
10 |
11.781 |
12.549 |
13.412 |
15.987 |
18.307 |
20.483 |
21.161 |
23.209 |
25.188 |
29.588 |
11 |
12.899 |
13.701 |
14.631 |
17.275 |
19.675 |
21.920 |
22.618 |
24.725 |
26.757 |
31.264 |
12 |
14.011 |
14.845 |
15.812 |
18.549 |
21.026 |
23.337 |
24.054 |
26.217 |
28.300 |
32.909 |
13 |
15.119 |
15.984 |
16.985 |
19.812 |
22.362 |
24.736 |
25.472 |
27.688 |
29.719 |
34.528 |
14 |
16.222 |
17.117 |
18.151 |
21.064 |
23.685 |
26.119 |
26.873 |
29.141 |
31.319 |
36.123 |
15 |
17.322 |
18.245 |
19.311 |
22.307 |
24.996 |
27.488 |
28.259 |
30.578 |
32.801 |
37.697 |
16 |
18.418 |
19.369 |
20.465 |
23.572 |
26.296 |
28.845 |
29.633 |
32.000 |
34.267 |
39.252 |
17 |
19.511 |
20.489 |
21.615 |
24.769 |
27.587 |
30.191 |
30.995 |
33.409 |
35.718 |
40.790 |
18 |
20.601 |
21.605 |
22.760 |
25.989 |
28.869 |
31.526 |
32.346 |
34.805 |
37.156 |
42.312 |
19 |
21.689 |
22.718 |
23.900 |
27.204 |
30.144 |
32.852 |
33.687 |
38.191 |
38.582 |
43.820 |
20 |
22.775 |
23.628 |
25.038 |
28.412 |
31.410 |
34.170 |
35.020 |
37.566 |
39.997 |
45.315 |
21 |
23.858 |
24.935 |
26.171 |
29.615 |
32.671 |
35.479 |
36.343 |
38.932 |
41.401 |
46.797 |
22 |
24.939 |
26.039 |
27.301 |
30.813 |
33.924 |
36.781 |
37.659 |
40.289 |
42.796 |
48.268 |
23 |
26.018 |
27.141 |
28.429 |
32.567 |
35.172 |
38.076 |
38.968 |
41.638 |
44.181 |
49.728 |
24 |
27.096 |
28.241 |
29.553 |
33.193 |
36.415 |
39.384 |
40.270 |
42.980 |
45.558 |
51.170 |
25 |
28.172 |
29.339 |
30.675 |
34.362 |
37.652 |
40.046 |
41.566 |
44.314 |
46.928 |
52.620 |
26 |
29.246 |
30.434 |
31.795 |
35.563 |
38.885 |
41.923 |
42.856 |
45.642 |
48.290 |
54.052 |
27 |
30.319 |
31.328 |
32.912 |
36.741 |
40.113 |
43.194 |
44.140 |
46.963 |
49.645 |
55.476 |
28 |
31.391 |
32.320 |
34.027 |
37.916 |
41.337 |
44.461 |
45.419 |
48.278 |
50.993 |
56.893 |
29 |
32.461 |
33.711 |
35.139 |
39.087 |
42.557 |
45.722 |
46.693 |
49.588 |
52.336 |
58.302 |
30 |
33.530 |
34.800 |
36.250 |
40.256 |
43.773 |
46.979 |
47.962 |
50.692 |
53.672 |
59.703 |
Додаток 4.
Значення
для критерію Колмогорова (
-критерію).
|
|
|
|
|
|
0,0-0,3 |
1,000 |
0,9 |
0,393 |
1,5 |
0,022 |
0,4 |
0,997 |
1,0 |
0,270 |
1,6 |
0,012 |
0,5 |
0,964 |
1,1 |
0,178 |
1,7 |
0,006 |
0,6 |
0,864 |
1,2 |
0,112 |
1,8 |
0,003 |
0,7 |
0,711 |
1,3 |
0,068 |
1,9 |
0,002 |
0,8 |
0,544 |
1,4 |
0,040 |
2,0 |
0,001 |
Додаток 5.