Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ФР і ФВ1.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
6.35 Mб
Скачать

Лабораторна робота № 4.

Тема : Перевірка гіпотези про узгодженість статистичного і теоретичного розподілів за допомогою критерію .

План.

  1. Контроль готовності студентів до занять

  2. Теоретичні відомості про критерій Пірсона.

  3. Вихідні дані і обчислення частот теоретичного розподілу на основі функції Лапласа.

  4. Обчислення критерію і висновки.

Хід лабораторної роботи.

  1. Контрольні запитання:

  • означення статистичної гіпотези;

  • як формулюється статистична гіпотеза;

  • статистичний критерій;

  • помилки І і ІІ роду при перевірці гіпотез;

  • назвати найуживаніші статистичні критерії;

  1. Теоретичні відомості про критерій Пірсона.

Питання про узгодженість статистичного і теоретичного розподілів вирішується, як правило, на основі застосування критерію Пірсона. Якщо позначити статистичні і теоретичні частоти розподілу через і , де - номер інтервалу статистичного розподілу, то значення критерію обчислюється на основі по формулі:

, (4.1)

де - число інтервалів гістограми. Оскільки нам відомі лише , а теоретичні частоти невідомі, то вся складність застосування критерію якраз і полягає в обчисленні .

Найбільш поширеним в практичному застосуванні є нормальний розподіл або розподіл Гаусса, тому найчастіше перевіряють узгодженість експериментальних даних саме з цим розподілом.

Розподіл Гаусса має наступну щільність:

, (4.2)

де і є параметрами розподілу. Для емпіричного розподілу і знаходять за формулами:

(4.3)

Теоретичні частоти в - тому інтервалі знаходять по формулі:

, (4.4)

де відповідно ліва і права границя - того інтервалу, а значення функції Лапласа, взяті із таблиці додатку 1 по аргументам ; - загальне число спостережень.

Знайшовши по формулі (4.4) обчислюємо значення по формулі (4.1). Гіпотеза про узгодженість статистичного і теоретичного розподілів перевіряється на основі нерівності:

, (4.5)

де значення зліва обчислене за формулою (4.1), а справа знаходиться критичне значення , яке вибирають із таблиці додатку 3 в залежності від -рівня ризику і значення , де число параметрів теоретичного закону розподілу.

Якщо нерівність (4.5) підтверджується, то це свідчить про те, що вибраний теоретичний закон розподілу узгоджується із статистичним. Якщо ж наявні експериментальні дані не підтверджують нерівність (4.5), то кажуть, що даний статистичний розподіл не узгоджується з теоретичним і потрібно шукати інший теоретичний закон, щоб змоделювати даний статистичний розподіл.

3. Вихідні дані і обчислення частот теоретичного розподілу на основі функції Лапласа.

Для нашого дослідження використаємо статистичний розподіл концентрації альбуміну в крові 70 жінок (табл.1.2).

Як бачимо, з формули (4.4), для обчислення аргументів функції Лапласа потрібно знати і статистичного розподілу. Ці значення ми вже отримали раніше: (п. 2.1 лабораторної роботи № 2), апліса потрібно знати нтів функції нок ()тичний розподжіл ичний розподіл.

оділ Гаусса, критерію 000000000000000000000000000000(п. 3.3, лабораторної роботи №3).

Обчислення теоретичних частот розподілу за знайденими і доцільно вести по такій схемі (табл. 4.1).

Таблиця 4.1.

Обчислення теоретичних частот і значення критерію для статистичного розподілу концентрації альбуміну в крові 70 жінок-спортсменок

Інтервали групуван-ня:

Значення функції Лапласа

30

-2,182

-0,48537

0,03587

0,08736

0,15502

0,20712

0,20712

0,15502

0,08736

0,03587

0,01136

4

7

9

15

16

9

6

3

1

2,5

6,1

10,8

14,5

14,5

10,8

6,1

2,5

0,8

1,5

0,9

-1,8

0,5

1,5

-1,8

-0,1

0,5

0,2

0,900

0,133

0,300

0,017

0,155

0,300

0,002

0,100

0,050

33

-1,636

-1,44950

36

-1,091

-0,36214

39

-0,545

-0,20712

42

0

0,00000

45

0,545

0,20712

48

1,091

0,36214

51

1,636

0,44950

54

2,182

0,48537

57

2,727

0,49683

1,957

Вихідні дані колонки 1 табл. 4.1 вибирають із табл. 1.2, колонка 1 лабораторної роботи № 1 при цьому інтервали записують вертикально як указано в табл. 4.1. Дані в колонці 2 обчислюють значення аргументу і функції Лапласа для границь інтервалів указаних в колонці 1, при цьому зверху колонки 2 записують значення і знайдені для свого варіанту завдання відповідно в лабораторних роботах № 2 і № 3. Наприклад, перше і друге значення аргументу функції Лапласа обчислюється так:

і т.д.

При цьому значення не обов’язково мусять бути симетричними як в табл. 4.1. Значення функції Лапласа в колонку 3 виписують із таблиці додатку 1 по значенню аргумента , наприклад,

пам’ятаючи, що функція Лапласа непарна, тобто:

.

Імовірність попадання спостереження в і-тий інтервал обчислюють як різницю значень функцій Лапласа знайдених для правої і лівої границі цього ж інтервалу:

,

наприклад, для першого інтервалу 33-30 маємо:

,

для другого інтервалу 36-33 отримаємо:

і т.д.

Значення обчислені для всіх інтервалів, наведені в четвертій колонці табл..4.1 В п’яту колонку цієї ж таблиці заносимо емпіричні частоти, виписавши їх з колонки 2 табл.1.2 (лабораторна робота № 1). В колонці 6 табл.4.1, записуємо теоретичні частоти, обчислюючи їх за формулою:

,

де . Для нашого прикладу, . В колонці 7 записуємо різниці частот , частота - в колонці 5 табл. 4.1, а частота - в колонці 6, наприклад, для першого інтервалу:

,

для другого інтервалу:

і т. д.

На основі різниць і значень обчислюємо величини ,

для другого:

і т. д.

Сумуючи всі числа колонки 8, отримуємо значення критерію Пірсона:

.

На кінець перевіряємо нерівність (4.5):

(4.6)

Значення вибираємо із таблиці додатку 3 в залежності від значення ризику , який приймають, як правило, рівним 0,05 і числа . Отже, . Таким чином, нерівність (4.6) підтверджується. А це значить, що можна зробити науково-обґрунтований висновок про те, що розподіл концентрації альбуміну в крові жінок підкоряється теоретичному розподілу Гаусса. Для того, щоб побачити характер цього закону нанесемо теоретичні частоти на рис. 1 лабораторної роботи № 1 і таким чином проілюструємо знайдену нами математичну модель досліджуваного явища.

ДОДАТКИ. Математичні статистичні таблиці, необхідні для виконання лабораторних робіт і самостійної роботи

Додаток 1.

Таблиця значень функції Лапласа

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,00000

00399

00798

01197

01595

01994

02392

02790

03188

03586

0,1

03983

04380

04776

05172

05567

05962

06356

06749

07142

07535

0,2

07926

08317

08706

09095

09483

09871

10257

10642

11026

11409

0,3

11791

12172

125552

12930

13307

13683

14058

14431

14803

15173

0,4

15542

15910

16276

16640

17003

17364

17724

18082

18439

18793

0,5

19146

19497

19847

20194

20540

20884

21226

21560

21901

22240

0,6

22575

22907

23237

23565

23891

24215

24537

24857

25175

25490

0,7

25804

20115

26424

26730

27035

27337

27637

27935

28230

28524

0,8

28814

29103

29389

29673

29955

30234

30511

30785

31057

31327

0,9

31594

31859

32121

32381

32639

32894

33147

33398

33646

33891

1,0

34134

34375

34614

34850

35083

35314

35543

35769

35993

36214

1,1

36433

36650

36864

37076

37286

37493

37698

37900

39100

38298

1,2

38493

38686

38877

39065

39251

39435

39617

39796

39973

40147

1,3

40320

40490

40658

40824

40988

41149

41309

41466

41621

41774

1,4

41924

42073

42220

42364

42507

42647

42786

42922

43056

43189

1,5

43319

43448

43574

43699

43822

43943

44062

44179

44295

44408

1,6

44520

44630

44738

44845

44950

45053

45154

45254

45352

45449

1,7

45543

45637

45728

45818

45907

45994

46080

46164

46246

46327

1,8

46407

46485

46562

46638

46712

46784

46856

46926

46995

47062

1,9

47128

47193

47257

47320

47381

47441

47500

47558

47615

47670

2,0

47725

47778

47831

47882

47932

47982

48030

48077

48124

48169

2,1

48214

48257

48300

48311

48382

48422

48461

48500

48537

48574

2,2

48610

48645

48679

48713

48745

48778

48809

48840

48870

48899

2,3

48928

48956

48983

49010

49036

49061

49086

49111

49134

49158

2,4

49180

49202

49224

49215

49266

49286

49305

49124

49343

49361

2,5

49379

49390

49413

49430

49446

49461

49477

49492

49506

49520

2,6

49534

49547

49560

49573

49585

49598

49609

49621

49632

49643

2,7

49653

49664

49674

49683

49613

49702

49711

49720

49728

49736

2,8

49744

49752

49760

49767

49774

49781

49788

49795

49801

49807

2,9

49813

49819

49825

49831

49836

49841

49846

49851

49856

49861

3,0

49865

3,5

49977

4,0

499968

3,1

49903

3,6

49984

4,5

499997

3,2

49931

3,7

49989

5,0

49999997

3,3

49952

3,8

49993

3,4

49966

3,9

49995

Додаток 2.

Таблиця значень функції

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.0

0.398942

398922

398862

398763

398623

398444

398225

397966

397658

397330

0.1

396953

396536

396080

395585

395052

394479

393868

396219

392531

391806

0.2

391043

390242

389404

388529

387618

386668

385683

384663

383606

382515

0.3

381388

380226

379031

377801

376537

375240

373911

372548

371154

369728

0.4

368270

366782

365263

363714

362135

360527

358890

357225

355533

353812

0.5

352065

350292

348493

346668

344818

342944

341046

339124

337180

335213

0.6

333225

331215

329184

327133

325062

322972

320864

318737

316593

314432

0.7

312254

310060

307851

305627

303389

301137

298872

296595

294305

292004

0.8

289692

287369

285036

282694

280344

277985

275618

273244

270864

268477

0.9

266085

263088

261286

258881

256471

254050

251644

249228

246809

244390

1.0

241971

239551

237132

234714

232297

229882

227470

225060

222653

220251

1.1

217852

215458

213069

210686

208308

205936

203571

2012014

198863

196520

1.2

194186

191860

189543

187235

184937

182649

180371

178104

175847

173602

1.3

171369

169147

166937

164740

162555

160383

158225

156080

153948

151831

1.4

149727

147639

145564

143505

141460

139431

137417

135418

133435

131468

1.5

129518

127583

125665

123763

121878

120009

118157

116323

114505

112704

1.6

110921

109155

107406

105675

103961

102265

100586

098925

097282

09657

1.7

094049

092459

090887

089333

087796

086277

084776

083293

081828

080380

1.8

078950

077538

076143

074766

073407

072065

070740

069433

068144

066871

1.9

065616

064378

063157

061952

060765

059595

058441

057304

056183

055079

2.0

053991

052919

051864

050824

049800

048792

047800

046823

045861

044915

2.1

043984

043067

042166

041280

040408

039550

038707

037878

037063

036262

2.2

035475

034701

033941

033194

032460

031740

031032

030337

029655

028985

2.3

028327

027682

027048

026426

025817

025218

024631

024056

023491

022937

2.4

022395

021862

021341

020829

020328

019837

019356

018885

018423

017971

2.5

017528

017095

016670

016254

015848

015449

015060

014678

014305

013940

2.6

013583

013234

012892

012558

012232

011912

011600

011295

010997

010706

2.7

010421

010143

009871

009606

009347

009094

008846

008605

008370

008140

2.8

007915

007697

007483

007274

007071

006873

006679

006491

006307

006127

2.9

005953

005782

005616

005454

005296

005143

004993

004847

004705

004567

3.0

0044318

032668

023841

017226

012322

008727

006119

004248

002919

001987

4.0

0001338

000893

000589

000385

000249

000160

000101

000064

000040

000024

Продовження додатку 2

4.0

0.000133830225765

5.0

000001486719515

6.0

000000006075883

7.0

000000000009135

1

000089261657177

1

000000897243516

1

000000003317884

1

000000000004514

2

000058943067757

2

000000536103534

2

000000001793784

2

000000000002208

3

000038535196742

3

000000317134922

3

000000000960143

3

000000000001069

4

000024942471290

4

000000185736184

4

000000000508814

4

000000000000513

5

000015983741107

5

000000107697600

5

000000000266956

5

000000000000243

6

000010140852065

6

000000061826205

6

000000000138668

6

000000000000114

7

000006369825179

7

000000035139551

7

000000000071313

7

000000000000053

8

000003961299091

8

000000019773196

8

000000000036310

8

000000000000025

9

000002438960746

9

000000011015764

9

000000000018303

9

000000000000011

8.0

000000000000005

1

000000000000002

2

000000000000001

Додаток 3.

Розподіл Пірсона ( - розподіл). Значення для ймовірності .

0.30

0.25

0.20

0.10

0.05

0.025

0.02

0.01

0.005

0.001

1

1.074

0.323

1.642

2.706

3.841

5.024

5.412

6.635

7.879

10.827

2

2.408

2.773

3.219

4.605

5.991

7.378

7.824

9.21

10.597

13.815

3

3.665

4.108

4.642

6.251

7.815

9.348

9.837

11.345

12.838

16.268

4

4.878

5.385

5.989

7.779

9.488

11.143

11.668

13.277

14.860

18.465

5

6.064

6.626

7.289

9.236

11.070

12.839

13.388

15.086

16.750

20.517

6

7.231

7.841

8.558

10.645

12.592

14.449

15.033

16.812

18.548

22.457

7

8.383

9.037

9.803

12.017

14.067

16.013

16.622

18.475

20.278

24.322

8

9.524

10.219

11.030

13.362

15.507

17.535

18.168

20.090

21.955

26.125

9

10.656

11.3889

12.242

14.684

16.919

19.023

19.679

21.666

23.589

27.877

10

11.781

12.549

13.412

15.987

18.307

20.483

21.161

23.209

25.188

29.588

11

12.899

13.701

14.631

17.275

19.675

21.920

22.618

24.725

26.757

31.264

12

14.011

14.845

15.812

18.549

21.026

23.337

24.054

26.217

28.300

32.909

13

15.119

15.984

16.985

19.812

22.362

24.736

25.472

27.688

29.719

34.528

14

16.222

17.117

18.151

21.064

23.685

26.119

26.873

29.141

31.319

36.123

15

17.322

18.245

19.311

22.307

24.996

27.488

28.259

30.578

32.801

37.697

16

18.418

19.369

20.465

23.572

26.296

28.845

29.633

32.000

34.267

39.252

17

19.511

20.489

21.615

24.769

27.587

30.191

30.995

33.409

35.718

40.790

18

20.601

21.605

22.760

25.989

28.869

31.526

32.346

34.805

37.156

42.312

19

21.689

22.718

23.900

27.204

30.144

32.852

33.687

38.191

38.582

43.820

20

22.775

23.628

25.038

28.412

31.410

34.170

35.020

37.566

39.997

45.315

21

23.858

24.935

26.171

29.615

32.671

35.479

36.343

38.932

41.401

46.797

22

24.939

26.039

27.301

30.813

33.924

36.781

37.659

40.289

42.796

48.268

23

26.018

27.141

28.429

32.567

35.172

38.076

38.968

41.638

44.181

49.728

24

27.096

28.241

29.553

33.193

36.415

39.384

40.270

42.980

45.558

51.170

25

28.172

29.339

30.675

34.362

37.652

40.046

41.566

44.314

46.928

52.620

26

29.246

30.434

31.795

35.563

38.885

41.923

42.856

45.642

48.290

54.052

27

30.319

31.328

32.912

36.741

40.113

43.194

44.140

46.963

49.645

55.476

28

31.391

32.320

34.027

37.916

41.337

44.461

45.419

48.278

50.993

56.893

29

32.461

33.711

35.139

39.087

42.557

45.722

46.693

49.588

52.336

58.302

30

33.530

34.800

36.250

40.256

43.773

46.979

47.962

50.692

53.672

59.703

Додаток 4.

Значення для критерію Колмогорова ( -критерію).

0,0-0,3

1,000

0,9

0,393

1,5

0,022

0,4

0,997

1,0

0,270

1,6

0,012

0,5

0,964

1,1

0,178

1,7

0,006

0,6

0,864

1,2

0,112

1,8

0,003

0,7

0,711

1,3

0,068

1,9

0,002

0,8

0,544

1,4

0,040

2,0

0,001

Додаток 5.