9. Круговая диаграмма сопротивлений и ее применение.

При расчете устройств на длинных линиях часто приходится пересчитывать входное сопротивление или проводимость от одного сечения к другому. Для облегчения этой операции в свое время были предложены графические методы с помощью специальных диаграмм. Наибольшее применение получила круговая диаграмма Вольперта-Смита. Она не утратила своего значения и в наш компьютерный век ввиду простоты и большой наглядности. Овладев ею, можно многие сложные задачи решать "в уме".

Диаграмма строится на комплексной плоскости коэффициента отражения. В линии без потерь

,

где =2/l, l отсчитывается от нагрузки. Зная (l₁) в некотором сечении l₁, легко найти (l₂) в любом другом сечении: достаточно переместиться по окружности радиуса || на угол –2(l₂–l₁). Полный оборот соответствует |l₂–l₁|=/2. Все возможные значения  лежат в круге единичного радиуса.

Входное сопротивление линии z в любом сечении однозначно определяется величиной  в этом же сечении

Удобно перейти к безразмерному (нормированному) сопротивлению Z=z/w. Тогда получим универсальную связь между  и Z (для произвольной линии):

. (*)

Переход от сечения l₁ к l₂ в плоскости  сводится только к повороту. Следовательно, если нанести сетку значений Z на этой плоскости, то мы сможем графически определить, как изменяется Z при перемещении вдоль длинной линии.

В плоскости комплексного переменного Z=R+jX линии R=const и X=const образуют прямоугольную сетку. Функция (Z) (*) осуществляет конформное отображение, переводящее правую полуплоскость R0 в круг единичного радиуса ||1. При этом Z=1 отображается в центр круга =0, точка Z=0 переходит в = –1, а Z= – в =+1. Точки j и –j остаются на месте. Поскольку функция (*) дробно-линейная, то прямые линии отображаются в окружности. Для их построения запишем

.

Приравнивая вещественные и мнимые части, получаем уравнения линий R=const и X=const в плоскости (u,v):

Это – окружности, образующие ортогональную сетку. Построив их, получим искомую круговую диаграмму. Остается проставить значения R и X на всех линиях. Угловые деления обычно проставляют не в градусах, а в долях .

Для проводимости (тоже нормированной) имеем

Она отличается от Z только знаком . Поэтому диаграмма проводимостей представляет собой повернутую на 180^о (вокруг центра) диаграмму сопротивлений. Следовательно, для расчета Z и Y достаточно одной диаграммы.

Круговая диаграмма позволяет

1) определять Y через Z и обратно;

2) определять Z и Y по известному  и наоборот;

3) по известному z_н или z(l) строить распределение |U| и |I| вдоль линии;

4) по измеренному распределению |U| или |I| находить сопротивление (проводимость) нагрузки и пересчитывать ее к любому сечению;

5) решать задачи согласования линии, т.е. находить параметры трансформаторов, шлейфов и точки их подключения.

Возможно применение диаграммы и для решения более сложных задач.