2. Решение уравнений длинной линии для режима гармонических колебаний.

Решение для установившихся колебаний ищем в виде u(x,t)=Re[U(x)e^jt], i(x,t)=Re[I(x) e^jt], где U(x), I(x) - комплексные амплитуды, зависящие от x. Подставим эти комплексные выражения в уравнения (1) (если они им удовлетворяют, то их вещественные части также будут удовлетворять этим уравнениям). Тогда после сокращения на множитель e^jt, получим

(2)

Это – обыкновенные дифференциальные уравнения. Из первого уравнения находим

. (3)

Будем далее рассматривать однородную линию. Подставив (2) во второе уравнение (1), получим

, (3)

где обозначено ² =(r+jL)(g+jC). Такому же уравнению удовлетворяет и I(x).

Общее решение (3) есть U(x)=A e^x +B e^x . Подставляя это в (2), находим

.

Выделим в  вещественную и мнимую части:

=+j= (5.5)

(размерность м^–1), условившись считать >0; тогда для >0 будет и >0. Введем еще обозначение

[Ом], причем ,

т.е. Rew>0 при всех .

Тогда общее решение системы (1) запишется в виде

. (4)

Константы A и B определятся из граничных условий (об этом ниже). А пока рассмотрим первое слагаемое в этих выражениях. Оно описывает волну, распространяющуюся вдоль линии в направлении +x. Действительно, этому члену отвечает мгновенное напряжение

,

где _ =argA. В каждом сечении x напряжение совершает гармоническое колебание, причем в x₂ фаза колебания запаздывает относительно фазы в x₁ , если x₂ >x₁ . Пусть точка наблюдения движется вдоль линии так, чтобы фаза оставалась постоянной: t–x+ =const, или x=(t+const₁. Это – уравнение равномерного движения с постоянной скоростью

v =,

которая называется фазовой скоростью волны.

Множитель e^-t приводит к уменьшению амплитуды колебания по мере увеличения x, т.е. к затуханию волны в процессе ее распространения. Поэтому  называется постоянной затухания. Соответственно  называется фазовой постоянной, а +j – постоянной распространения, так как  полностью характеризует процесс распространения волны.

На рисунке показана мгновенная картина напряжения в линии (пунктир соответствует более позднему моменту t).

Расстояние между точками, в которых фазы колебаний отличаются ровно на 2, называется длиной волны в линии

.

За один период колебания волна перемещается на расстояние, равное .

Такой же волновой процесс совершает и ток (первое слагаемое в (4), причем отношение КА напряжения и тока (при B=0!) одинаково во всех сечениях и равно

.

Величина w называется волновым сопротивлением линии.

Нетрудно видеть, что вторые слагаемые в (4) описывают волну напряжения и тока, распространяющуюся в направлении –x с такой же скоростью v_ф и с таким же затуханием . Отношение КА напряжения и тока у нее равно –w. Отличие в знаке здесь связано с тем, что ток этой волны отсчитывается в направлении +x, противоположном направлению ее распространения.

Итак, гармонические колебания в линии в общем случае представляют собой сумму двух волн, распространяющихся во встречных направлениях с одинаковой скоростью и затуханием. Последние определяются величиной , которая вместе с w зависит только от конструкции самой линии (ее погонных параметров). Амплитуды же волн (константы A и B) зависят от режима питания и нагрузки линии, т.е. определяются граничными условиями на концах линии.