Іі. Вектори
2.1. Вектори. Лінійні операції над векторами
1. Скалярні і векторні величини. Величина, для характеристики якої досить її числового значення у відповідних одиницях вимірювання, називається скалярною. Прикладами скалярних величин є маса, температура, довжина, площа, об’єм, кількість тепла і т.п.
Величина, для характеристики якої крім числового значення вказується ще і напрямок в просторі, називається векторною. Наприклад: сила, швидкість, прискорення, напруженість поля (електростатичного, магнітного, електромагнітного) і т.п.
Геометричним зображенням векторної величини в заданому масштабі є вектор.
Вектором називається відрізок заданої довжини і вказаним напрямком в просторі, тобто направлений відрізок.
В
А
Рис. 1
На
рис. 1 А - початкова точка вектора, В -
кінець вектора, вектор позначають
.
Для зручності запису замість символа
«
» над вектором будемо писати « —
». Іноді вектор позначають однією буквою:
.
Відстань від точки А до точки В називають
довжиною
або
модулем
вектора і позначають
або
.
Якщо
початок і кінець вектора збігаються,
то такий вектор називається нульовим
і позначають
.
Напрямок нульового вектора може бути
довільним.
Два
ненульові вектори, що лежать на паралельних
прямих або на одній прямій називають
колінеарними,
позначається
.
Нульовий вектор вважається колінеарним
довільному вектору.
Вектори паралельні одній і тій же площині, або ті що лежать в одній площині називаються компланарними.
Рівними називаються два вектори, якщо вони задовольняють умови:
1) вони колінеарні,
2) їх модулі рівні,
вони направлені в одну сторону, тобто
Наприклад, на рис. 2, де АВСD - паралелограм,
Рис. 2
вектори
Якщо
,
то вектори
- протилежні.
Вектор протилежний вектору
позначають
.
Вектор
протилежний вектору
і записують
=
.
З означення рівності векторів випливає, що вектор можна переносити в просторі паралельно самому собі, такі вектори називають вільними.
Вектор,
модуль якого дорівнює одиниці називається
одиничним
вектором, або ортом,
і позначається
:
.
2. Лінійні операції над векторами. До них відносяться додавання векторів та множення вектора на число (скаляр).
Додавання
векторів.
Нехай задані два вектори
.
Відкладемо з деякої точки О вектор
,
а тоді з точки А відкладемо вектор
і розглянемо вектор
.
Рис. 3
Сумою
двох векторів
і
називається
вектор
,
початок якого знаходиться в початку
вектора
,
а кінець - в кінці вектора
за умови, що початок початок
знаходиться в кінці
.
Згідно
рис. 3 вектор
замикає ламану OAB,
напрямок вектора
береться в кінець останнього доданка
.
За принципом замикання знаходиться сума більшого числа доданків.
Рис. 4
.
Різниця
векторів.
Помістимо початки векторів
і
в одну точку О, і побудуємо замикаючий
вектор
(рис. 5).
Рис.5
Різницею
двох векторів
і
,
що виходять з однієї точки, називається
замикаючий вектор
(позначається
),
напрямок якого вибирається в сторону
заменшуваного.
Множення
вектора на число.
Добутком ненульового вектора
на число
називається вектор
,
(позначається
=
),
колінеарний вектору
,модуль
якого
.
Напрямок вектора збігається з напрямком вектора , якщо >0, і протилежний напрямку вектора , якщо <0, тобто
При
=
0, або
=
ввжається, що
-
нульовий вектор.
Рис. 6
3. Властивості лінійних операцій над векторами.
Рис.
7
Властивість 1, що називається переставною або комутативною, зрозуміла з рис. 7, дозволяє додавати вектори за правилом паралелограма.
-
асоціативна або сполучна властивість
(див. рис. 8).
Рис. 8
Властивості 3 - 8 пропонуємо перевірити самостійно.
Приклад
1.
За даними векторами
і
побудувати вектори:
а)
.
Розв’язання. Див. на рис. а) і б)
Приклад
2.
У трикутнику АВС проведена медіана АМ
див. на рис.
Виразити
вектор
через вектори
і
.
Розв’язання.
За
означенням різниці векторів
,
тоді
За означенням суми векторів із ∆ АВМ маємо
