4. Мультіколінеарність та ії наслідки.

Одним з основних перешкод ефективного застосування множинного регресійного аналізу є мультиколлинеарность. Вона пов'язана з лінійною залежністю між аргументами x₁,x₂,...,x_k . У результаті мультиколлинеарности матриця парних коефіцієнтів кореляції й матриця (X^TX) стають слабообусловленными, тобто їхні визначники близькі до нуля.

Це викликає нестійкість оцінок коефіцієнтів регресії (2.5), більші дисперсії ; оцінок цих коефіцієнтів (2.7), тому що в їхньому вираженні входить зворотна матриця (X^TX)^-1 , одержання якої пов'язане з діленням на визначник матриці . Звідси випливають занижені значення t(b_j) . Крім того, мультиколлинеарность приводить до завищення значення множинного коефіцієнта кореляції.

На практиці про наявність мультиколлинеарности звичайно судять по матриці парних коефіцієнтів кореляції. Якщо один з елементів матриці R більше 0.8, тобто , то вважають, що має місце мультиколлинеарность і в рівняння регресії варто включати тільки один з показників x_j або x_e.

Щоб позбутися від цього негативного явища, звичайно використовують алгоритм покрокового регресійного аналізу або будують рівняння регресії на головних компонентах.

Приклад побудови регресійного рівняння

По даним n=20 сільськогосподарських районів потрібно побудувати регресійну модель урожайності на основі наступних показників:

Y - урожайність зернових культур (ц/га);

X₁ - число колісних тракторів (наведеної потужності)

на 100 га;

X₂ - число зернозбиральних комбайнів на 100 га;

X₃ - число знарядь поверхневої обробки ґрунту на 100 га;

X₄ - кількість добрив, що витрачаються на гектар;

X₅ - кількість хімічних засобів оздоровлення рослин, що витрачаються на гектар.

Вихідні дані для аналізу наведені в табл. 2.2

Таблиця 2.2

Вихідні дані для аналізу

Y	X1	X2	X3	X4	X5
9.70 8.40 9.00 9.90 9.60 8.60 12.50 7.60 6.90 13.50 9.70 10.70 12.10 9.70 7.00 7.20 8.20 8.40 13.10 8.70	1.59 0.34 2.53 4.63 2.16 2.16 0.68 0.35 0.52 3.42 1.78 2.40 9.36 1.72 0.59 0.28 1.64 0.09 0.08 1.36	0.26 0.28 0.31 0.40 0.26 0.30 0.29 0.26 0.24 0.31 0.30 0.32 0.40 0.28 0.29 0.26 0.29 0.22 0.25 0.26	2.05 0.46 2.46 6.44 2.16 2.69 0.73 0.42 0.49 3.02 3.19 3.30 11.51 2.26 0.60 0.30 1.44 0.05 0.03 1.17	0.32 0.59 0.30 0.43 0.39 0.32 0.42 0.21 0.20 1.37 0.73 0.25 0.39 0.82 0.13 0.09 0.20 0.43 0.73 0.99	0.14 0.66 0.31 0.59 0.16 0.17 0.23 0.08 0.08 0.73 0.17 0.14 0.38 0.17 0.35 0.15 0.08 0.20 0.20 0.42

Рішення. Попередньо, з метою аналізу взаємозв'язку показників побудована таблиця парних коефіцієнтів кореляції R.

Y	X1	X2	X3	X4	X5
1.00 0.43 0.37 0.40 0.58 0.33	0.43 1.00 0.85 0.98 0.11 0.34	0.37 0.85 1.00 0.88 0.03 0.46	0.40 0.98 0.88 1.00 0.03 0.28	0.58 0.11 0.03 0.03 1.00 0.57	0.33 0.34 0.46 0.28 0.57 1.00

Аналіз матриці парних коефіцієнтів кореляції показує, що результативний показник найбільше тісно пов'язаний з показником X₄ - кількості добрив, що витрачаються на гектар (ryx₄=0.58).

У той же час зв'язок між ознаками-аргументами досить тісна. Так, існує практично функціональний зв'язок між числом колісних тракторів (X₁) і числом знарядь поверхневої обробки ґрунту (X₃) - rx₁x₃=0.98.

Про наявність мультиколлинеарности свідчить також коефіцієнти кореляції rx₁x₂=0.85 і rx₃x₂=0.88.

Щоб продемонструвати негативний вплив мультиколлинеарности, розглянемо регресійну модель урожайності, включивши в неї всі вихідні показники:

=3.515 - 0.006X₁ + 15.542X₂ + 110X₃ + 4.475X₄ - 2.932X₅ (2.15) (-0.01) (0.72) (0.13) (2.90) (-0.95)

У дужках зазначені t_набл(b_j), розрахункові значення t - критерію для перевірки гіпотези про значимість коефіцієнта регресії Н₀: _j=0, j=1, 2, 3, 4, 5. Критичне значення t_кр=1.76 знайдене по таблиці t - розподілу при рівні значимості =0.1 і числі ступенів волі =14. З рівняння треба, що статистично значимим є коефіцієнт регресії тільки при X₄, тому що =2.90>t_кр=1.76. Не піддаються економічній інтерпретації негативні знаки коефіцієнтів регресії при X₁ і X₅, із чого треба, що підвищення насиченості сільського господарства колісними тракторами (X₁) і засобами оздоровлення рослин (X₅) негативно позначається на врожайності. Таким чином, отримане рівняння регресії не прийнятно.

Після реалізації алгоритму покрокового регресійного аналізу з виключенням змінних і обліком того, що в рівняння повинна ввійти тільки одна із трьох тісно зв'язаних змінних (X₁, X₂ або X₃) одержуємо остаточне рівняння регресії:

=7.342 + 0.345X₁ + 3.294X₄ (2.16)

(11.12) (2.09) (3.02)

У рівняння (2.16) включений X₁, що як визначає із трьох показників.

Рівняння значиме при =0.05, тому що F_набл=266>F_кр=3.20, знайденого по таблиці F- розподілу при =0.05; ₁=3 і ₂=17. Значимо й всі коефіцієнти регресії ₁ і ₄ у рівнянні >t_кр (=0.05; =17) = 2.11. Коефіцієнт регресії ₁ варто визнати значимим (₁0) з економічних міркувань при цьому t₁=2.09 лише незначно менше t_кр=2.11. При =0.1 t_кр=1.74 і ₁ статистично значимо.

З рівняння регресії треба, що збільшення на 1 числа тракторів на 100 га ріллі приводить до росту врожайності зернових у середньому на 0.345 ц/га (b₁=0.345).

Коефіцієнти еластичності Э₁=0.068 і Э₄=0.161 показують, що при збільшенні показників X₁ і X₄ на 1% урожайність зернових підвищується відповідно на 0.068% і 0.161%, (Э_j=b_j).

Множинний коефіцієнт детермінації r_y²=0.469 свідчить про те, що тільки 46.9% варіації врожайності пояснюється показниками, що ввійшли в _модель (X₁ і X4), тобто насиченістю рослинництва тракторами й добривами. Інша частина варіації обумовлена дією неврахованих факторів (X₂, X₃, X₅, погодних умов і ін.). Середня відносна помилка апроксимації =10.5% характеризує адекватність моделі, також як і величина залишкової дисперсії S²=1.97.

13