2. Неадкватність моделі. Приклади й наслідки Приклад. Розглянемо статистичні дані по сша за період з 1959 по 1985 р. Г. Про наступні макроекономічні показники:

DPI — річний сукупний розташовуваний особистий дохід;

CONS — річні сукупні споживчі витрати;

ASSETS — фінансові активи на кінець календарного року

(всі показники в млрд. доларів, у цінах 1982 р.).

Подання про зміну цих макроекономічних показників дає наступний графік:

Розглянемо модель спостережень

де індексу t відповідає (1958+ t) рік. Це модель із ( пояснюючими змінними:

символ позначає змінну, значення якої запізнюються на одну одиницю часу щодо значень змінної .

Оцінювання цієї моделі дає наступні результати: ,

пояснюючі змінні мають високу статистичну значимість. Нижче представлена діаграма розсіювання для передвіщених (CONSF) і спостережуваних (CONS) значень змінної , а також графік залежності стандартизованих залишків (RESID_STAND) від передвіщених (CONSF) значень змінної :

/ /

Лівий графік відбиває високе значення коефіцієнта детермінації. На правому графіку помітне зростання розкиду крапок щодо нульового рівня при значеннях .

Оскільки перший з наведених у цьому прикладі графіків указує на зростання річних споживчих витрат із часом, для реалізації процедури Goldfeld-Quandt природно скористатися вже наявним упорядкуванням спостережень у часі (це й буде напрямком очікуваного зростання дисперсій випадкових помилок). Помітимо тепер, що внаслідок використання статистичних даних, починаючи з 1959 року, ми не маємо у своєму розпорядженні значення , що відповідає 1958 року. Тому реально при оцінюванні коефіцієнтів моделі спостережень ми використовуємо тільки 26 (а не 27) наборів значень , .

Виділимо із цих 26 спостережень дві групи, що складаються з перших 10 і останніх 10 наборів значень , що відповідають періодам з 1960 по 1969 і з 1976 по 1985 роки (так що відкинуто центральних спостережень). При роздільному підборі лінійної моделі по цих групах спостережень одержуємо залишкові суми квадратів і , відповідно, так що спостережуване значення - статистики критерію Goldfeld-Quandt дорівнює

Якщо стандартні припущення про випадкові помилки в моделі спостережень виконані, то тоді відношення зазначених залишкових сум квадратів як випадкових величин має -розподіл Фишера = . Якщо ми, як звичайно, задаємо рівень значимості рівним , то відповідному цьому рівню значимості критичне значення -статистики дорівнює

Спостережуване значення цієї статистики перевищує критичне; тому гіпотеза виконання стандартних припущень про помилки відхиляється на користь гіпотези зростання дисперсій з ростом значень . Помітимо, нарешті, що ймовірність перевищення випадковою величиною з розподілом значення дорівнює

Зрівняємо результати застосування критерію Голдфелда-Квандта з результатами, одержуваними при використанні двох варіантів критерію Уайта.

При використанні першого варіанта спостережуване значення статистики критерію дорівнює . Оскільки , те число ступенів волі відповідного розподілу хі-квадрат дорівнює . Імовірність того, що випадкова величина, що має такий розподіл, перевищить значення , дорівнює , так що значення менше критичного, а виходить, гіпотеза однорідності дисперсій цим варіантом критерію Уайта не відкидається.

При використанні другого варіанта спостережуване значення статистики критерію дорівнює . Число ступенів волі відповідного розподілу хі-квадрат дорівнює . Імовірність того, що випадкова величина, що має такий розподіл, перевищить значення , дорівнює , так що значення менше критичного, а виходить, гіпотеза однорідності дисперсій не відкидається й цим варіантом критерію Уайта.

Таким чином, статистичні висновки щодо однорідності дисперсій випадковихих тридцятилітніх у розглянутій моделі наболюдений виявилися суперечливими: гіпотеза однорідності відкидається критерієм Голфелда-Квандта, але не відкидається обома варіантами критерію Уайта. Як можна пояснити таке протиріччя?

• Обидва варіанти критерію Уайта асимптотические, тоді як критерій Голдфелда-Квандта враховує реально наявну кількість спостережень.

• Обидва варіанти критерію Уайта є критеріями згоди, не настроєними на якийсь специфічний клас альтернатив гіпотезі однорідності, тоді як використання критерію Голдфелда-Квандта безпосередньо пов'язане з альтернативою, вираженої у формі зростання дисперсій помилок для відповідного впорядкування спостережень. І тут проявляється загальне положення: критерії, побудовані з розрахунком на вузький клас альтернатив, виявляються могутнішими в порівнянні із критеріями, розрахованими на більше широкий клас альтернатив, тобто частіше відкидають нульову гіпотезу, коли вона не вірна.

Розглянемо тепер графік залежності стандартизованих залишків від номера спостережень і його варіант у вигляді залежності від року спостереження:

/ /

Тут обертає на себе увага наявність серій залишків однакового знака, що сигналізує про те, що помилки в моделі спостережень швидше за все мають позитивну автокореляцію. Для 26 спостережень і пояснюючих змінних границь для критичного значення статистики Дарбина-Уотсона при (однобічний критерій) рівні

У той же час, обчислене по залишкам від оціненої моделі значення статистики Дарбина-Уотсона дорівнює

,

що менше нижньої границі Отже, нульова гіпотеза про виконання стандартних припущень відхиляється на користь гіпотези про позитивний автокоррелированности помилок.

Зрівняємо результати застосування критерію Дарбина-Уотсона з результатами, одержувані при використанні критерію Бройша-Годфри.

Якщо виходити з допущення залежності очищених випадкових помилок тільки на один крок , як це робиться при використанні критерію Дарбина-Уотсона, то в цьому випадку обчислене значення статистики критерію Бройша-Годфри дорівнює , що відповідає -значенню, рівному . Гіпотеза незалежності помилок відкидається, що погодиться з результатом, отриманим при використанні критерію Дарбина-Уотсона.

У той же час, якщо взяти , то тоді , що відповідає -значенню, рівному . Гіпотеза незалежності помилок у цьому випадку не відкидається при встановленому рівні значимості , що розходиться з результатом, отриманим при використанні критерію Дарбина-Уотсона. Ця гіпотеза не відкидається також при виборі , і т.д., і це цілком з'ясовно: вибір , , відповідає вибору усе більше широких альтернатив у порівнянні з , що приводить до зменшення ймовірності відкинути гіпотезу незалежності помилок у випадку, коли вона не вірна.

Перевіримо, нарешті, припущення про нормальний розподіл помилок. Спочатку розглянемо діаграму « квантиль-квантиль»(Q-Q plot) і діаграму щільності (DPP-plot):

/ /

Перша діаграма не виглядає задовільної; друга виявляє певну асиметрію. Вибірковий коефіцієнт асиметрії дорівнює тут , а вибірковий коефіцієнт ексцесу дорівнює . Обоє ці значення говорять аж ніяк не на користь нормальності помилок. Статистика критерію Jarque-Bera приймає значення , що відповідає Отже, наявні дані не підтверджують гіпотезу про виконання стандартних припущень про помилки й за цим критерієм.

У зв'язку з настільки невтішними результатами відносно перевірки гіпотези виконання стандартних припущень у розглянутому прикладі, виникає природне запитанння про те, як саме впливають порушення цих припущень на статистичні висновки.

Неоднорідність дисперсій помилок (гетероскедастичность, heteroscedasticity). Цей вид порушень стандартних припущень характерний для статистичних даних, що ставляться до одного моменту часу, але зібраних по різних регіонах, різним підприємствам, різним соціальним групам (дані в перетинах, cross-section data). Неоднорідність дисперсій виникає також як результат тих або інших структурних змін в економіці, наприклад пов'язаних зі світовими економічними кризами. Останній приклад саме й ілюструє подібну ситуацію: різке зростання абсолютних величин залишків у цьому прикладі ставиться до періоду глобальної нафтової кризи.

Наслідку неоднорідності дисперсій помилок:

• Оцінки дисперсій випадкових величин (оцінок коефіцієнтів лінійної моделі) виявляються зміщеними.

• Побудовані довірчі інтервали для не відповідають заявленим рівням значимості.

• Обчислені значення - і - відносин уже не можна розглядати як спостережувані значення випадкових величин, що мають - і -розподілу, що відповідають стандартним припущенням. Тому порівняння обчислених значень - і - відносин із квантилями зазначених - і -розподілів може приводити до помилкових статистичних висновків відносно гіпотез про значення коефіцієнтів лінійної моделі.

Автокоррелированность (сериальная кореляція) помилок (autocorrelation, serial correlation). Цей вид порушень стандартних припущень характерний для статистичних даних, розгорнутих у часі (поздовжні дані, longitudial data). Автокоррелированность помилок звичайно виникає внаслідок направильной специфікації моделі, наприклад, при невключенні в модель істотної пояснюючої змінної з вираженою автокореляцією.

Наслідку автокоррелированности помилок:

• Оцінка дисперсії випадкових помилок зміщена долілиць у випадку позитивної й зміщена нагору у випадку негативної автокоррелированности помилок.

• Оцінки дисперсій випадкових величин (оцінок коефіцієнтів лінійної моделі) виявляються заниженими у випадку позитивної й завищеними у випадку негативної автокоррелированности помилок.

• Побудовані довірчі інтервали для не відповідають заявленим рівням значимості: у випадку позитивної автокоррелированности помилок побудовані інтервали неоправденно вузькі, а у випадку негативної автокоррелированности помилок невиправдано широкі.

• Обчислені значення - і - відносин не можна розглядати як спостережувані значення випадкових величин, що мають - і -розподілу, що відповідають стандартним припущенням. Тому порівняння обчислених значень - і - відносин із квантилями зазначених - і -розподілів може приводити до помилкових статистичних висновків відносно гіпотез про значення коефіцієнтів лінійної моделі. Обчислені значення - і - відносин завищені у випадку позитивної й занижені у випадку негативної автокоррелированности помилок.

При виявленні порушень стандартних припущень треба або поліпшити специфікацію моделі, залучаючи підходящі додаткові пояснюючі змінні, або використовувати для оцінювання коефіцієнтів і оцінювання дисперсій коефіцієнтів моделі спеціальні методи оцінювання, що приймають в увагу виявлені порушення (далі ми розглянемо два таких методи: зважений метод найменших квадратів і авторегрессионное перетворення змінних).