3. Корекція статистичних висновків при наявності гетероскедастичності

Приклад. Для дослідження питання про залежність кількості керівників від розміру підприємства були зібрані статистичні дані по 27 промислових підприємствах. Далі позначено:

— чисельність персоналу на i-м підприємстві,

— кількість керівників на i-м підприємстві.

Оцінюємо лінійну модель спостережень

Регресійний аналіз дає наступні результати: R²=  і

Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	P-value.
1	14.448	9.562	1.511	0.1433
X	0.105	0.011	9.303	0.0000

Наступні два графіки демонструють діаграму розсіювання з підібраній прямій (лівий графік) і залежність стандартизованих залишків від значень (правий графік).

/ /

Схоже, що має місце тенденція лінійного зростання абсолютних величин залишків з ростом , що відповідає наявності наближеної залежності виду для дисперсій помилок. Щоб погасити таку неоднорідність дисперсій, розділимо обидві частини співвідношення на :

т. е. перейдемо до моделі спостережень

де

Якщо дійсно виконується співвідношення , то тоді в перетвореній моделі

т. е. неоднорідність дисперсій помилок переборюється.

Результати оцінювання перетвореної моделі:

Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	P-value.
1	0.121	0.009	13.445	0.0000
1/x	3.803	4.570	0.832	0.4131

У вихідних змінних це відповідає моделі лінійного зв'язку

Відзначимо зменшення оцінених стандартних помилок оцінок обох параметрів і . Саме на ці значення варто опиратися при побудові довірчих інтервалів для цих параметрів. Середніми крапками цих інтервалів будуть, відповідно, і . Наступний графік показує характер залежності стандартизованих залишків у перетвореній моделі від .

Цього разу неоднорідності дисперсій залишків (принаймні явної) не виявляється.

Розглянемо уважніше наші дії при оцінюванні перетвореної моделі. Оцінки коефіцієнтів, наведені в останній таблиці, отримані застосуванням методу найменших квадратів до моделі спостережень тобто шляхом мінімізації суми квадратів

яку, згадуючи, що позначають змінні із зірочками, можна записати у вигляді

Позначаючи тепер

одержуємо, що задача мінімізації суми квадратів відхилень у перетвореній моделі рівносильна задачі мінімізації зваженої суми квадратів відхилень у вихідній (неперетвореної) моделі. Величина інтерпретується в цьому контексті як вага, приписувана квадрату відхилення в - м спостереженні. Ця вага буде тим менше, чим більше значення , що у силу наших припущень пропорційно дисперсії випадкової помилки в -м спостереженні. Отже, чим більше дисперсія випадкової помилки , тим менше вага, з яким входить квадрат відхилення в -м спостереженні в минимизируемую суму.

Маючи на увазі, що оцінювання перетвореної моделі спостережень зводиться до мінімізації суми

розглянутий метод оцінювання називають зваженим методом найменших квадратів (хоча точніше його варто було б називати методом найменших зважених квадратів).

Зауваження. У деяких руководствах по эконометрике й у деяких пакетах статистичного аналізу даних (наприклад, у пакеті EVIEWS) використовується трохи інше рівносильне подання минимизируемой суми квадратів у перетвореній моделі спостережень:

У цьому випадку вага приписується не квадрату відхилення, а самому відхиленню Зрозуміло, у розглянутому прикладі при такому визначенні ваги останній буде дорівнює

На цю обставину варто звернути увагу при специфікації ваг у процедурах, що реалізують зважений метод найменших квадратів.