Экономико-математическая модель задачи о назначениях

Найти такое оптимальное сочетание распределения ресурсов А_i на работу В_j при условиях:

чтобы Z(х) – общая (суммарная) характеристика качества распределения ресурсов по работам была экстремальной.

Структурная форма записи задачи о назначениях

Найти экстремальное значение целевой функции

,

если

По сравнению с транспортной задачей процесс приведения задачи о назначениях к сбалансированному виду имеет свои особенности:

• количество работ (b_j) и ресурсов (a_i), т.е. суммы по строкам и столбцам матрицы назначений, принимают только значение «1».

• переменные x_ij являются булевыми, двоичными или бинарными (принимают только значение «0» или «1»).

Вопросы и задания для самопроверки и самоподготовки

1. Какие задачи называют задачами о назначениях?

2. Нарисуйте транспортную матрицу задачи о назначениях, объясните ее элементы.

3. Запишите экономико-математическую модель задачи о назначениях.

6.6. Алгоритм решения задачи о назначениях с помощью Microsoft Excel 2010

Рассмотрим решение задачи о назначениях с помощью табличного процессора Microsoft Excel 2010.

Задача 8. На малом предприятии имеются три работника, которых необходимо распределить по трем различным работам. Предварительно определена и записана в таблицу 27 производительность x_ij каждого работника на каждой из трех работ.

Таблица 27

Производительность работников

Номер работника	Номер работы
	1	2	3
1	10	15	25
2	20	10	5
3	15	10	10

Решение

1. Составление экономико-математической модели задачи

Обозначим x_ij – производительность каждого работника на каждой из трех работ (i = 1, 2, …, 3 и j = 1, 2,…, 3).

Необходимо распределить работников на рабочие места таким образом, чтобы каждый из них выполнял только одну работу, то есть

и при этом должна быть получена максимальная производительность

Z_max = 10х₁₁ + 15х₁₂ + 25х₁₃ + 20х₂₁ + 10х₂₂ + 5х₂₃ +15х₃₁ + 10х₃₂ + 10х₃₃.

Систему ограничений запишем полностью:

Ограничения по работникам – ограничение назначений для первого работника – ограничение назначений для второго работника – ограничение назначений для третьего работника Ограничения по работам – ограничение назначений на первую работу – ограничение назначений на вторую работу – ограничение назначений на третью работу

2. Составление формы для ввода данных в Microsoft Excel

Создайте Книгу в Microsoft Excel и сохраните ее. Оформите таблицы как показано на рисунке 33. Введите исходные данные о производительности работников в ячейки C5:E7 (рис. 31).

Рис. 31 – Исходные данные задачи и формы для вычислений

3. Ввод формул

Введите в матрице назначений формулы для вычисления количества работ (суммы по столбцам в ячейках), количества работников (суммы по строкам) и значения целевой функции (сумма произведений коэффициентов целевой функции и значений переменных) как показано на рисунке 32.

Рис. 32 – Формулы для вычислений значений целевой функции, количества работ и количества работников

4. Настройка программы Microsoft Excel 2010

Команда Поиск решения находится во вкладке Данные (с. 63).

5. Установка значений в окне Параметры поиска решений

Рис. 33 – Настройка окна Параметры поиска решений

Откройте окно Поиска решений (рис. 33, 34):

• введите адрес ячейки со значением целевой функции – E18 (щелчком левой кнопки мыши);

• установите режим Максимум;

• в поле Изменяя ячейки переменных укажите диапазон C3:E15, в которых программа подберет оптимальные значения переменных x₁ и х₂;

• добавьте ограничения с помощью кнопки Добавить (рис. 36). Для этого используется щелчок левой кнопки мыши по необходимым ячейкам, а знак неравенства или равенства выбирается из списка в окне Добавление ограничения (рис. 35). Для диапазона C13:E15 выберите знак «бин», ограничение «бинарное» появится автоматически (рис. 37).

• укажите метод решения Поиск решения линейных задач симплексным методом (рис. 34);

Рис. 34 – Окно Параметры поиска решений

• нажмите кнопку Найти решение (рис. 34);

• в окне Результаты поиска решения выберите режим Сохранить найденное решение и нажмите ОК (рис. 23).

Рис. 35 – Окно Изменение ограничений

6. Анализ полученного решения

Оптимальное решение найдено (рис. 36). Следовательно, оптимальное распределение работников по видам работ представлено триадой (x₁₃, x₂₁, x₃₂).

Рис. 36 – Оптимальное решение задачи о назначениях

Ответ: Первый работник должен быть назначен на третью работу, второй – на первую работу, третий – на вторую. При этом будет достигнута наибольшая производительность – 55.

Вопросы

1. Каков план решения задачи о назначениях с помощью Microsoft Excel?

2. Какие режимы устанавливаются в окне Параметры поиска решений для решения задачи о назначениях?

Рекомендуемые источники к главе 6

4, 7, 8, 10, 15, 22

7. Теория двойственности в анализе оптимальных решений экономических задач

7.1 Понятие экономико-математического анализа

Экономико-математический анализ – заключительный этап математического моделирования экономических процессов, он основывается на использовании двойственных оценок последней симплексной таблицы.

Анализ позволяет осуществить более глубокую проверку соответствия модели процессу, надежности оптимального решения. Анализ позволяет сделать важные выводы и обобщения, так как оптимизация плана строится на достаточно строгих теоретических положениях математического программирования.

Необходимость проведения экономико-математического анализа оптимальных решений вызвана следующими обстоятельствами:

• модель не является точным аналогом исследуемого процесса, а лишь отражает его наиболее существенные свойства, следовательно, возникает необходимость ее доработки с целью улучшения качества решения;

• изменение исходных данных может быть вызвано случайными факторами (допущены ошибки) или быть результатом целенаправленного изменения;

• в производстве строголинейные зависимости встречаются редко, и в целях упрощения расчета нелинейные связи принимают за линейные, как при планировании традиционном, так и при математическом моделировании;

• многие параметры при планировании носят вероятностный характер и, следовательно, тоже определяются приблизительно.

Планирование производства предполагает разработку системы моделей, следовательно, при взаимной увязке выходная информация одной модели может служить входной для другой. Поэтому при согласовании расчетов по смежным моделям может потребоваться изменение отдельных показателей и знание тех последствий, к которым приведут эти изменения.

Экономико-математический анализ проводится в следующих целях:

• для определения возможных последствий в системе в целом и каждом ее элементе при изменении параметра модели (например, увеличении или уменьшении объема ресурсов);

• для оценки устойчивости оптимального решения к изменению отдельных параметров задачи;

• для проведения вариантных расчетов и получения новых вариантов плана без повторного решения задачи от исходного базиса с помощью корректировки.