- •Методы оптимальных решений
- •Содержание
- •Введение
- •1. Моделирование – метод научного познания
- •1.1 Основные понятия моделирования
- •Вопросы *
- •1.2 Системный подход и моделирование социально-экономических систем
- •Вопросы
- •5. Численное решение
- •6. Анализ численных результатов и их применение
- •Приемы экономико-математического моделирования
- •Классификация моделей по типу информации:
- •Классификация моделей по учету фактора времени:
- •Классификация моделей по учету фактора неопределенности:
- •Классификация моделей по типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам:
- •Вопросы
- •2.2 Принцип оптимальности в планировании и управлении
- •Вопросы
- •Математическая формулировка общей задачи линейного программирования
- •Структурная форма записи задачи линейного программирования
- •Вопросы
- •3.2 Формы записи задачи линейного программирования
- •Нормы затрат и выхода продукции
- •Решение
- •Общая форма записи задачи линейного программирования
- •Каноническая форма записи задачи линейного программирования
- •Стандартная форма записи задачи линейного программирования
- •4.2. Алгоритм графического метода
- •Нормы затрат и выхода продукции
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •2. Построение граничных прямых, соответствующих системе ограничений
- •3. Определение области допустимых решений
- •4. Построение вектора градиента и линии уровня
- •5. Нахождение точки экстремума
- •6. Определение значения целевой функции
- •4.3. Варианты графического решения задач линейного программирования
- •Вопросы
- •Рекомендуемые источники к главе 4
- •5. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •5.1. Сущность симплексного метода
- •Вопросы
- •5.2. Алгоритм решения задач симплексным методом с естественным базисом
- •Показатели эффективности возделывания 1 га культур
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •2. Приведение модели к канонической форме записи задачи, определение основных и дополнительных переменных
- •3. Составление базиса
- •4. Построение первой симплексной таблицы
- •Первая симплексная таблица (сокращенная)
- •Первая симплексная таблица (полная)
- •5. Проверка оптимальности решения
- •6. Построение второй симплексной таблицы
- •Первая симплексная таблица с разрешающим элементом
- •Вторая симплексная таблица
- •Правила нахождения коэффициентов второй симплексной таблицы
- •Вторая симплексная таблица
- •7. Построение третьей и последующих симплексных таблиц
- •Вторая симплексная таблица с разрешающим элементом
- •Третья симплексная таблица
- •Вопросы
- •5.3. Алгоритм решения задач симплексным методом с искусственным базисом
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •2. Приведение модели к канонической форме записи задачи, определение основных и дополнительных переменных
- •3. Составление базиса, введение искусственных переменных
- •4. Построение первой симплексной таблицы
- •Первая сокращенная симплексная таблица с м-строкой
- •5. Решение вспомогательной задачи симплексным методом с естественным базисом
- •Данные о содержании питательных веществ и стоимости культур
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •2. Приведение модели к канонической форме записи задачи, определение основных и дополнительных переменных
- •3. Составление базиса, введение искусственных переменных
- •4. Построение первой симплексной таблицы
- •Первая симплексная таблица
- •5. Проверка оптимальности решения
- •6. Построение второй симплексной таблицы
- •Первая симплексная таблица с разрешающим элементом
- •Вторая симплексная таблица
- •7. Построение третьей и последующих симплексных таблиц
- •Третья симплексная таблица
- •Вопросы
- •5.4. Алгоритм решения задач симплексным методом в Microsoft Excel 2010
- •Показатели эффективности возделывания 1 га культур
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •2. Составление формы для ввода данных в Microsoft Excel
- •3. Ввод исходных данных в форму Microsoft Excel
- •4. Ввод формул для вычислений значений целевой функции и левой части неравенств
- •5. Настройка программы Microsoft Excel 2010
- •6. Установка значений в окне Параметры поиска решений
- •7. Анализ полученного решения
- •6.2. Постановка и математическая формулировка транспортной задачи
- •Постановка задачи
- •Матрица транспортной задачи
- •6.3. Алгоритм решения транспортной задачи (метод северо-западного угла)
- •Стоимости перевозок одной тонны картофеля (ден. Ед.)
- •Решение
- •1. Проверка типа задачи (открытая или закрытая)
- •2. Составление экономико-математической модели задачи
- •Матрица транспортной задачи (ден. Ед.)
- •3. Составление опорного плана
- •Опорный план транспортной задачи (ден. Ед.)
- •4. Проверка решения на оптимальность
- •Опорный план транспортной задачи (ден. Ед.)
- •5. Построение контура
- •Правила построения контура
- •Опорный план транспортной задачи с контуром (ден. Ед.)
- •6. Построение нового опорного плана
- •7. Проверка нового плана на оптимальность
- •Вопросы
- •6.4. Алгоритм решения транспортной задачи в Microsoft Excel 2010
- •Себестоимость перевозки 1 т сена, руб.
- •Решение
- •1. Проверка типа задачи (открытая или закрытая)
- •2. Составление экономико-математической модели задачи
- •6. Анализ полученного решения
- •Вопросы
- •6.5. Задача о назначениях
- •Общий вид транспортной матрицы задачи о назначениях
- •Экономико-математическая модель задачи о назначениях
- •Структурная форма записи задачи о назначениях
- •Вопросы и задания для самопроверки и самоподготовки
- •6.6. Алгоритм решения задачи о назначениях с помощью Microsoft Excel 2010
- •Производительность работников
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •7.2 Прямая и двойственная задача
- •Построение двойственной задачи
- •Исходные данные задачи
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •2. Приведение модели к канонической форме записи задачи, определение основных и дополнительных переменных
- •3. Решение задачи симплексным методом
- •Последняя симплексная таблица (оптимальное решение)
- •4. Анализ двойственных оценок
- •Симплексная таблица с коэффициентами замещения и двойственными оценками
- •Вопросы
- •7.3 Основные свойства двойственных оценок
- •Вопросы
- •7.4 Алгоритм решения двойственной задачи в Microsoft Excel 2010
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •2. Решение задачи симплексным методом
- •3. Анализ оптимального решения
- •4. Мера влияния ограничения на целевую функцию
- •5. Свойство оптимальности решения
- •Вопросы
- •Рекомендуемые источники к главе 7
- •Библиографический список
- •Приложение 1 Полезные ссылки
3. Составление опорного плана
Для решения задачи составляется опорный план. Существует несколько методов получения опорного (начального) решения: метод северо-западного угла, метод наилучшего (максимального/минимального) элемента таблицы, метод наилучшего элемента по строке (столбцу) и другие.
Решим задачу с помощью метода северо-западного угла. В данном методе таблицу (опорный план) заполняют с верхней левой клетки, при этом полностью и по порядку перемещают запасы груза и удовлетворяют спрос (таблица 21).
Таблица 21
Опорный план транспортной задачи (ден. Ед.)
Номер склада (Ai) |
Номер магазина (Bj) |
Количество груза на складах (ai) |
|||||
1 |
2 |
3 |
|||||
1 |
40 |
|
70 |
|
20 |
|
8000 |
|
8000 |
|
|
|
|
||
2 |
10 |
|
20 |
|
30 |
|
5000 |
|
4000 |
|
1000 |
|
|
||
3 |
30 |
|
40 |
|
10 |
|
10000 |
|
|
|
8000 |
|
2000 |
||
4 |
30 |
|
20 |
|
50 |
|
7000 |
|
|
|
|
|
7000 |
||
Количество груза в магазинах (bj) |
12000 |
9000 |
9000 |
30000 30000 |
|||
В первом складе хранится 8000 т картофеля, а в первый магазин необходимо поставить 12000 тонн, поэтому в первый магазин придется поставить 4000 тонн картофеля со второго склада.
Во второй магазин требуется завезти 9000 тонн картофеля, которые будут поставлены из второго склада (имеющийся остаток – 1000 тонн) и третьего склада (8000 тонн).
В третий магазин необходимо завезти оставшийся картофель из третьего склада (2000 тонн) и 7000 тонн картофеля из четвертого склада – всего 9000 тонн (таблица 21).
Заполнив таблицу, проверяют правильность ее заполнения:
Сумма перевозимого груза по строчкам должна составлять ai, а сумма требуемого груза по столбцам должна быть равна bj.
Количество занятых (заполненных) клеток в таблице должно быть равно (m + n – 1), где m – количество поставщиков, n – количество потребителей. Если количество занятых клеток меньше, чем (m + n – 1), то такой план называется вырожденным. Для преодоления вырожденности одну из свободных клеток условно считают занятой и проставляют в нее перевозки xij = 0, клетка считается занятой и не влияет на решение.
В нашем случае m = 4, n = 3, следовательно, m + n – 1 = 4+3 – 1 = 6. Количество заполненных клеток равно 6. Поэтому план невырожденный.