Рекомендуемые источники к главе 4

4, 7, 8, 15, 22

5. Симплексный метод решения задач линейного программирования

5.1. Сущность симплексного метода

Симплексный метод – это метод решения задач линейного программирования, основанный на принципе последовательного улучшения решения. Применяется только к задачам в канонической форме записи.

Доказано, что если оптимальное решение существует, то оно обязательно будет найдено через конечное число шагов. Каждый из шагов (итераций) состоит в нахождении нового плана, которому соответствует более близкое к оптимальному значение целевой функции по сравнению с предыдущим планом. Процесс вычисления продолжается до получения оптимального плана.

Решение задач симплексным методом проводится по этапам:

1. Создается экономико-математическая модель в канонической форме.

2. Указывается способ вычисления начального (опорного) решения.

3. При помощи признака оптимальности проверяется, является ли это решение оптимальным.

4. По выбранному начальному решению строится другое, более близкое к оптимальному.

Процесс вычисления продолжается до получения оптимального плана.

В зависимости от типа ограничений в системе задачи линейного программирования могут решаться симплексным методом с естественным и искусственным базисом:

• если все ограничения в системе типа «≤», то задача решается симплексным методом с естественным базисом;

• если в системе ограничений встречается хотя бы одно ограничение типа «≥» или «=», то задача решается симплексным методом с искусственным базисом.

Симплексным методом с естественным базисом на минимум реальные экономические задачи не решаются, только математические.

Вопросы

1. В чем суть симплексного метода?

2. Назовите отличительные признаки в условиях задач, определяющие их возможность решения симплексным методом.

3. Каковы этапы решения задач линейного программирования симплекс-методом?

4. В каких случаях применяется симплексный метод решения задач с естественным базисом?

5. Когда возникает необходимость использования симплексного метода с искусственным базисом?

5.2. Алгоритм решения задач симплексным методом с естественным базисом

Алгоритм решения задачи рассмотрим на конкретном примере.

Задача 3. Найти оптимальное сочетание посевов ячменя и картофеля, если известно, что выделено пашни 7000 га, трудовых ресурсов – 45000 чел. – дней. Площадь под картофель не должна превышать 5000 га. Определить оптимальное сочетание посевов этих культур, обеспечивающее максимум товарной продукции в денежном выражении. Эффективность возделывания 1 га этих культур характеризуется показателями (таблица 3):

Таблица 3

Показатели эффективности возделывания 1 га культур

Показатели	Ячмень	Картофель
Урожайность, ц/га	15	100
Затраты труда, чел.-дней на га	0,5	4,5
Цена 1 ц, ден. ед.	10	8

Решение

1. Составление экономико-математической модели задачи

Обозначения: x₁ – площадь ячменя, га; х₂ – площадь картофеля, га.

Экономико-математическая модель задачи в общей форме: Найти значение неизвестных, которое бы обеспечивало максимальное значение целевой функции Z_max при соблюдении ограничений и условий неотрицательности переменных:

1) целевая функция: Z_max = 150х₁ + 800х₂ (ден. ед.);

2) система ограничений:

– ограничение на площадь пашни (га) – ограничение на объем трудовых ресурсов (чел.-дней); – ограничение на площадь пашни под картофель (га)

3) условия неотрицательности: x₁≥ 0, x₂ ≥ 0.