4.2. Алгоритм графического метода

Алгоритм решения задачи линейного программирования графическим методом включает следующие этапы:

1. Составление экономико-математической модели задачи.

2. Построение граничных прямых, соответствующих системе ограничений.

3. Определение области допустимых решений.

4. Построение вектора градиента и линии уровня.

5. Нахождение точки экстремума.

6. Определение значения целевой функции.

Задача 2. На орошаемом участке в 20 га найти оптимальное сочетание площадей посевов картофеля и кукурузы на зерно. Известно, что выделено 800 чел.-дней трудовых ресурсов, площадь под картофель должна составлять не менее 10 га. Нормы затрат и выхода продукции представлены в таблице 2. Цель – максимизация прибыли.

Таблица 2

Нормы затрат и выхода продукции

Культуры	Урожайность, ц/га	Затраты труда, чел.-дней на га	Прибыль на 1 ц, ден. ед.
Картофель	100	50	0,8
Кукуруза на зерно	50	10	0,7

Задание: решить задачу графическим методом.

Решение

1. Составление экономико-математической модели задачи

Введем обозначения переменных:

x₁ – площадь под картофель, га;

х₂ – площадь под кукурузу на зерно, га.

Цель задачи – определение значений х₁ и х₂, при которых будет получена максимальная прибыль, т.е. значение 0,8·100х₁ + 0,7·50х₂ должно быть максимальным. Поэтому целевая функция такова: Z_max = 80х₁ + 35х₂.

Составим систему ограничений. Общую площадь посевов картофеля и кукурузы ограничена 20 га, что запишем таким образом: x₁ + х₂ ≤ 20. Количество трудовых ресурсов (чел.-дней) необходимое для обработки полей выразим неравенством 50х₁ + 10х₂ ≤ 800. Площадь под картофель составляет не менее 10 га, поэтому третье неравенство: x₁ ≥ 10.

Итак, экономико-математическая модель задачи в общей форме: Найти значение неизвестных, которое бы обеспечивало максимальное значение целевой функции Z_max при соблюдении ограничений и условий неотрицательности переменных:

1) целевая функция: Z_max = 80х₁ + 35х₂;

2) система ограничений:

;

3) условия неотрицательности: х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.

2. Построение граничных прямых, соответствующих системе ограничений

Прямая l₁. По условию задачи пашня составляет 20 га, это ограничение записано как неравенство x₁ + х₂ ≤ 20, которому соответствует граничная прямая l₁: x₁ + х₂ = 20.

Найдем точки пресечения l₁ с осями координат, для этого одну из переменных приравниваем к нулю и определяем значение второй переменной:

• при x₁ = 0, х₂ = 20, тогда прямая l₁ пресекает ось Ох₂ в точке А₁ (0; 20);

• при х₂ = 0, x₁ = 20, следовательно, точка пересечения прямой l₁ с осью Ох₁ имеет координаты B₁ (20; 0).

Граничную прямую l₁ построим по точкам А₁ (0; 20), B₁ (20; 0) (рис. 12).

Рис. 12 – Граничные прямые

Аналогично построим граничные прямые для остальных неравенств.

Прямая l₂. Второе неравенство 50х₁ + 10х₂ ≤ 800 заменяем уравнением 50х₁ + 10х₂ = 800. При x₁ = 0, х₂ = 80, а при х₂ = 0, x₁ = 16. Тогда граничная прямая l₂ пересекает оси координат в точках А₂ (0; 80) и B₂ (16; 0).

Прямая l₃. Третьему неравенству x₁ ≥ 10 соответствует граничная прямая l₃, проходящая через точку B₃ (10; 0) параллельно оси Oх₂.

На координатных осях отмечаем возможные значения х₁ и х₂, при необходимости на осях можно выбрать различные единицы масштаба.