2. Связь между критической магнитной индукций и удельным зарядом электрона

Итак, на электрон в диоде действует сила Лоренца, численное значение которой равно .  – это угол между векторами 𝒗 и B. Так как υB, то sinα = 1. Поэтому .

Направление силы Лоренца определяется направлением векторного произведения , которое перпендикулярно каждому из своих сомножителей 𝒗 и B. Тот факт, что сила Лоренца F_лор перпендикулярна вектору скорости электрона 𝒗, означает, что и ускорение, которое создаёт электрону сила Лоренца, перпендикулярно скорости, то есть является нормальным ускорением:

.

Здесь r – радиус кривизны траектории электрона. Сократив на скорость, получим:

. (1.1)

Из этой формулы следует, что для измерения удельного заряда необходимо измерить скорость электрона 𝑣, магнитную индукцию B и радиус кривизны траектории r.

Скорость электрона есть сумма двух слагаемых: . Первое слагаемое 𝑣₀ – это начальная скорость электрона, то есть скорость, с которой электрон вылетает из катода. Определить её невозможно, так как она – величина случайная, причём разброс возможных значений υ₀ тем больше, че больше температура катода. Второе слагаемое – это прирост скорости электрона, вызванный действием электрического поля, которое на всём пути полёта электрона от катода к аноду разгоняет его, то есть увеличивает добавку Δ𝑣. Чем больше Δ𝑣 по сравнению со средним значением начальной скорости тем меньше влияние случайной составляющей. Максимального значения Δ𝑣 достигает в той точке траектории электрона, в которой он попадает на анод. Это значение можно определить из закона сохранения энергии: полная энергия электрона на всём его пути от катода до анода остаётся неизменной.

W_к – это энергия электрона в момент его вылета из катода, а W_а – это энергия электрона в момент его попадания на анод. Запишем энергию электрона как сумму кинетической и потенциальной энергий.

(1.2)

_к – это потенциал катода, _а – потенциал анода. Перенесём в формуле (1.2) кинетические энергии в левую часть уравнения, а потенциальные – в правую.

.

U_а – это анодное напряжение, то есть разность потенциалов . Из последней формулы можно выразить скорость электрона в момент его попадания на анод:

.

Тогда

(1.3)

Из (1.3) следует условие, при котором :

. (1.4)

Так как , где T – температура катода, то получаем:

(1.5)

Для того чтобы термоэлектронная эмиссия электронов из катода могла обеспечить заметный анодный ток, температура катода должна быть не менее 1000 К. Тогда из (1.5) следует, что анодное напряжение должно быть много больше 0,1 В. Вполне достаточно (5 – 10) В. При этом в формуле (1.3) можно отбросить 𝑣₀, в результате чего получается:

. (1.6)

Итак, для определения скорости электрона, которую надо подставить в формулу (1.1), достаточно измерить анодное напряжение. В формуле (1.1) остались ещё две неизвестные: магнитная индукция B и радиус кривизны траектории r. Так как формула (1.6) получена для скорости электрона в точке его попадания на анод, то и радиус кривизны траектории электрона надо определить в точке попадания на анод. Проще всего это сделать для случая критического магнитного поля. При этом траектория электрона касается поверхности анода (Рис. 2в), и её можно приближённо считать окружностью, диаметр которой есть расстояние между катодом и анодом, то есть разность радиусов анода и катода. А если использовать диод, у которого радиус катода много меньше радиуса анода R, то можно принять, что в критическом магнитном поле радиус кривизны траектории электрона равен

. (1.7)

Теперь подставим в (1.1) выражения для скорости (1.6), радиуса кривизны (1.7) и условие B = B_кр. В итоге получается:

. (1.8)

Таким образом, измерение удельного заряда электрона сводится только к измерению анодного напряжения магнитной индукции B_кр. Анодное напряжение можно измерить прямым способом – с помощью вольтметра. Как измерить критическую магнитную индукцию, написано в пункте 1.4. Однако, прежде чем, использовать формулу (1.8), её целесообразно проверить.