2. Применение биномиального, гипергеометрического законов распределения.

В теории надежности наибольшее распространение получили следующие законы распределения случайных величин f(t): для дискретных случайных величин - биноминальный закон; закон Пуассона.

ОПР:

Случайная величина (СВ)- величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных величин, которые заранее не могут быть учтены. Дискретная СВ- СВ может принимать изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Закон распределения случайной величины - соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и их вероятностями.

Биноминальный закон распределения числа k появления события A в n независимых опытах (испытаниях). Если вероятность появления события A в одном испытании равна p, вероятность непоявления события A равна q=1-p; число независимых испытаний равно n, то вероятность появления k раз событий в n испытаниях будет,

Pn(k)= Cnk *p k *q n-k

где Cnk- число сочетаний из n по k.

Cnk = n!/ (k!*(n-k)!) Биноминальный закон применяется при анализе данных выборочных исследований, в частности, при изучении предпочтений потребителей, выборочном контроле качества продукции по планам одноступенчатого контроля, при испытаниях совокупностей индивидуумов в демографии, социологии, медицине, биологии и др.

Гипергеометрическое распределение имеет место при выборочном контроле конечной совокупности объектов объема N по альтернативному признаку. Каждый контролируемый объект классифицируется либо как обладающий признаком A, либо как не обладающий этим признаком. Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина Y, равная числу объектов, обладающих признаком A в случайной выборке объема k, где k < N.

   

Таким образом, гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами — объемом генеральной совокупности N, числом объектов V в ней, обладающих рассматриваемым признаком A, и объемом выборки k.                                            

где V -  объем контролируемой партии, N – число изделий в выборке,  k – число дефектных изделий в выборке, D – число дефектных изделий в партии,

 -  число сочетаний из D по k.

3. Применение закона распределения Пуассона в ук

В теории надежности наибольшее распространение получили следующие законы распределения случайных величин f(t): для дискретных случайных величин - биноминальный закон; закон Пуассона.

ОПР:

Случайная величина (СВ)- величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных величин, которые заранее не могут быть учтены. Дискретная СВ- СВ может принимать изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Закон распределения случайной величины - соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон Пуассона - вероятность возникновения событий за некоторый интервал времени длины ( закон редких явлений).

Случайная величина , которая принимает только целые неотрицательные значения, имеет закон распределения Пуассона с параметром , если

,

где =n*p

При условии закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность p события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины соответственно равны:

.

Это свойство используется для проверки степени соответствия исследуемого (опытного) распределения с распределением Пуассона.

Случайную величину, подчиненную распределению Пуассона, обычно интерпретируют, как вероятность возникновения событий за некоторый интервал времени длины . Число появления событий на интервале времени длины подчинено распределению Пуассона, если события возникают так, что

• независимы количества событий, произошедших на непересекающихся интервалах;

• если на некотором интервале времени длины произошло одно событие, то условная вероятность появления другого события на этом же интервале стремиться к 0 при ;

• вероятность появления события за малый интервал времени пропорциональна величине .

Закон Пуассона используется тогда, когда необходимо определить вероятность того, что в изделии за заданное время произойдет один, два, три и т.д. отказов.

Распределение Пуассона используется при анализе результатов выборочных маркетинговых обследований потребителей, расчете оперативных характеристик планов статистического приемочного контроля в случае малых значений приемочного уровня дефектности, для описания числа разладок статистически управляемого технологического процесса в единицу времени и т.д.