7. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса:

.

8. Знайти ранг матриці .

Варіант 25

1. Знайти члени визначника, які містять та

.

2. Обчислити визначник, зробивши найбільше нулів у рядку чи у стовпці.

3. Довести, що кожна матриця 2-го порядку задовольняє матричне рівняння , де одинична матриця 2-го порядку.

Вказівка. Перевіряється безпосереднім обчисленням.

4. Задано матриці

; .

а) Знайти (якщо це можливо) добутки матриць . Коли операція множення матриць неможлива, пояснити чому.

б) Яку матрицю потрібно додати до матриці , щоб дістати одиничну матрицю?

5. Знайти невідому матрицю із матричного рівняння , якщо

; .

Перевірити правильність розв’язку підстановкою.

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь a) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

7. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса:

.

8. Знайти ранг матриці .

Варіант 26

1. Користуючись властивостями визначників, довести тотожність (визначники не розкривати):

.

2. Обчислити визначник, перетворивши в нуль, всі, крім одного, елементи стовпця чи рядка.

3. Знайти значення матричного многочлена , якщо –одинична матриця 3-го порядку,

= .

4. Показати, що матриці переставні

= та = .

Зауваження. Матриці, для яких виконується рівність = , називаються переставними.

5. Довести, що матриці взаємно обернені

= та = .

Переконатися в тому, що .

Зауваження. Матриці і взаємно обернені, якщо ^-1= ; ^-1= .

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь а) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

7. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса:

.

8. Знайти ранг матриці .

Варіант 27

1. Розв’язати рівняння, ліва частина якого записана у вигляді визначника,

.

2. Розкласти за елементами 2-го стовпця та обчислити визначник

.

3. Знайти значення многочлена від матриці , якщо Е – одинична матриця 2-го порядку,

.

4. Знайти добуток матриць АВС, якщо

; ; .

Переконатися, що (АВ)С=А(ВС).

5. Квадратна матриця S називається симетричною, якщо вона не змінюється при транспонуванні. Показати, що матриця S^–1, обернена симетричній матриці

,

буде також симетричною.

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь a) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

7. Дослідити на сумісність систему використовуючи метод Гаусса:

.

8. Знайти ранг матриці .

Варіант 28

1. Не розкриваючи визначників, довести тотожність

.

2. Обчислити визначник

.

3. Показати, що матриця А – корінь многочлена , тобто показати, що , якщо

.

4. Задано матриці

та

а). Знайти (якщо це можливо) CD; DC; C^TD^T; D^TC^T.

б). Чому дорівнюють визначники матриць CD та DC?

5. Розв’язати матричне рівняння АХ=В, якщо

, .

Зробити перевірку.

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь a) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

7. Дослідити на сумісність систему рівнянь використовуючи метод Гаусса: .

8. Знайти ранг матриці .

Варіант 29

1. Знайти х із рівняння. Зробити перевірку.

.

2. Розклавши за елементами 2-го стовпця, обчислити визначник

.

3. Знайти , якщо Е – одинична матриця 3-го порядку,

.

4. Показати, що матриця ортогональна

.

Зауваження. Квадратна матриця А називається ортогональною, якщо виконується умова АА^Т=Е, або А^Т=А^–1.

5. Розв’язати матричне рівняння АХВ=С, якщо

; ; .

Зробити перевірку.

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь a) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

7. Дослідити, при яких значеннях а система рівнянь1) має єдиний розв’язок;

2) має нескінченно багато розв’язків; 3) не має розв’язків.

8. Знайти ранг матриці .

Варіант 30

1. Користуючись властивостями визначників, обчислити визначник

.

2. Обчислити визначник накопиченням нулів у рядку чи у стовпці

.

3. Знайти , якщо Е – одинична матриця 3-го порядку,

.

4. Нехай

; .

Показати, що

а) (А+В)(А+В)≠А²+2АВ+В²;

б) (А+В)(А-В)≠А²–В².

5. Розв’язати матричне рівняння відносно квадратної матриці 3-го порядку YA=B, якщо

; .

Зробити перевірку

.

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь a) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

7. Визначити, при яких значеннях т система рівнянь a) має єдиний розв’язок

б) не має розв’язків (несумісна).

8. Знайти ранг матриці .

ЗМІСТ

Варіант 1 3

Варіант 2 4

Варіант 3 5

Варіант 4 6

Варіант 5 8

Варіант 6 9

Варіант 7 10

Варіант 8 11

Варіант 9 13

Варіант 10 14

Варіант 11 15

Варіант 12 17

Варіант 13 18

Варіант 14 19

Варіант 15 21

Варіант 16 22

Варіант 17 23

Варіант 18 25

Варіант 19 26

Варіант 20 27

Варіант 21 29

Варіант 22 30

Варіант 23 31

Варіант 24 33

Варіант 25 34

Варіант 26 36

Варіант 27 37

Варіант 28 39

Варіант 29 40

Варіант 30 41

44