8. Знайти ранг матриці .

Варіант 12

1. Не розкриваючи визначників, довести тотожність

.

2. Обчислити визначник

.

3. Показати, що матриця К=В–D кососиметрична, якщо

та .

Зауваження. Квадратна матриця К називається кососиметричною, якщо при транспонуванні вона змінює свій знак.

4. Знайти матрицю F=AB–BA, якщо

; .

Яку матрицю C потрібно додати до матриці F, щоб дістати одиничну матрицю? Чому дорівнює визначник матриці F?

5. Довести, що матриці

;

взаємно обернені. Чи будуть взаємно оберненими транспоновані матриці А^Т та В^Т?

Зауваження. Матриці А і В взаємно обернені, якщо А^–1=В; В^–1=А.

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь а) за допомогою формул Крамера;

б) матричним методом.

7. Дослідити систему лінійних рівнянь на сумісність використовуючи метод Гаусса:

8. Знайти ранг матриці .

Варіант 13

1. Користуючись властивостями визначників, довести тотожність

.

2. Обчислити визначник

.

3. Знайти значення матричного многочлена , якщо е – одинична матриця 3-го порядку,

.

4. Задано матриці:

; ; ; .

а) Знайти добуток АВСD;

б) Обчислити визначник матриці АВСD.

5. Розв’язати матричне рівняння відносно квадратної матриці 3-го порядку та зробити перевірку:

.

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь а) за допомогою формул Крамера;

б) матричним методом.

7. Визначити, при яких значеннях а та b система рівнянь а) має єдиний розв’язок; б) не має розв’язків.

8. Знайти ранг матриці .

Варіант 14

1. Не розкриваючи визначників, довести, що

.

2. Обчислити визначник

3. Показати, що матриця S=2A – 3B – симетрична, якщо

; .

Зауваження. Квадратна матриця S називається симетричною, якщо вона не змінюється при транспонуванні.

4. Задано матриці

; ; .

а). Знайти добуток матриць АВС.

б). Обчислити визначник матриці АВС.

в). Яку матрицю D потрібно додати до матриці АВС, щоб дістати одиничну матрицю?

5. Розв’язати матричне рівняння відносно квадратної матриці Х 3-го порядку ХА=В, якщо

; .

Перевірити правильність розв’язку підстановкою.

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь a) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

7. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса:

.

8. Знайти ранг матриці .

Варіант 15

1. Користуючись властивостями визначників, довести рівність

.

2. Перетворивши в нуль всі, крім одного, елементи стовпця чи рядка, обчислити визначник

.

3. Знайти Р(А) = 7А²+13А – 5Е, якщо Е – одинична матриця 3-го порядку,

.

4. Задано матриці

та .

а) Знайти АС; А^ТС^Т; С^–1АС.

б) Яку матрицю В потрібно відняти від матриці С^–1АС, щоб дістати одиничну матрицю?

5. Розв’язати матричне рівняння відносно квадратної матриці 3-го порядку ВY=С, якщо

; .

Перевірити правильність розв’язку підстановкою.

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь a) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

7. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса:

.

8. Знайти ранг матриці .

Варіант 16

1. Користуючись властивостями визначників, обчислити визначник

.

Вказівка. Іс.–ІІс.

2. Обчислити визн

ачник, перетворивши в нуль усі, крім одного, елементи стовпця чи рядка

.

3. Показати, що матриця C=D+A–A^T є нульовою матрицею, якщо

; .

4. Задано матриці

; ; .

а). Знайти добуток матриць АВС.

б). Обчислити визначник матриці АВС.

в). Яку матрицю D потрібно відняти від матриці АВС, щоб дістати одиничну матрицю?