2.4 Обробка результатів багаторазових нерівноточних вимірювань однієї величини

Вимірювання, що виконують в умовах, при яких результати не можна рахувати однаково надійними, називають нерівноточними.

Ступінь довіри до результату виміру називають вагою цього результату. Чим надійнішим є результат, тим більшою є його вага. Вагу результату обчислюють за формулою:

p = k  m² (2.32)

де: k – довільне число, яке вибирають для зручності обчислень, однакове при обробці даної групи вимірювань.

Якщо результати нерівно точних вимірів однієї і тієї ж величини l₁, l₂, … l_n, а p₁, p₂, … p_n – їх ваги, кожне значення l_i можна розглядати як середнє арифметичне:

l_i = (l_i1 + l_i2 + … +l_in)  p (2.33)

або

p_il_i = l_I (2.34)

Число таких рівностей буде p. Взявши середнє арифметичне з лівих і правих частин рівнянь, отримаємо:

plp = l_Ip (2.35)

Якщо позначити:

l_Ip = L₀ (2.36)

тоді:

L₀ = plp (2.37)

або:

L₀ = (p₁l₁ + p₂l₂ + …+p_nl_n)  (p₁ + p₂ + …+p_n) = plp (2.38)

За останньою формулою визначають загальне середнє арифметичне, яке дорівнює сумі добутків кожного результату на його вагу, поділене на суму ваг.

Для оцінки точності нерівноточних вимірів застосовують:

Середню квадратичну помилку вимірювання з вагою, рівною одиниці:

 = pv² (n – 1) (2.39)

Середню квадратичну помилку виміру:

 = p² n (2.40)

Середню квадратичну помилку загального арифметичного середнього:

M₀ = p (2.41)

2.5 Середня квадратична помилка арифметичної середини

Нехай маємо ряд рівноточних вимірів однієї величини l₁, l₂, … l_n, арифметичну середину визначають за формулою:

L = (l₁, l₂, … l_n)  n = 1n  l₁ + 1n  l₂ +…+ 1n l_n (2.42)

де: 1n – постійне число.

Доведено, що квадрат середньої квадратичної помилки функції загального вигляду дорівнює сумі квадратів добутків частинних похідних за кожним аргументом на середню квадратичну помилку відповідного аргументу:

M_z² = ((f x₁)  m₁)² + ((f x₂)  m₂)² + …+ ((f x_n) m_n)² (2.43)

Якщо середня квадратична помилка вимірювання m, а середня квадратична помилка арифметичного середнього М, то відповідно до останньої формули:

M_l² = (1n²)  m_l1² + (1n²)  m_l2² + …+ (1n²)  m_ln² (2.44)

Якщо припустити, що:

m_l1 = m_l2= … m_ln = m (2.45)

тоді:

M_l² = (1n²)  (m_l1² + m_l2² + …+ m_ln²) = (1n²)  (nm²) = m² n (2.46)

або:

M_l = m n. (2.47)

Тобто середня квадратична помилка арифметичного середнього в n разів менша за середню квадратичну помилку вимірювання.

Завдання на практичну роботу:

1. Обчислення середнього арифметичного значення:

   1. Обчислити середнє арифметичне значення ряду вимірювань згідно варіанту:

а) 106,32+(n˟2,41) м; 106,45+(n˟2,41) м; 106,33+(n˟2,41) м; 106,23+(n˟2,41) м;

б) 46°32^/+(n˟1°21^/); 46°35^/+(n˟1°21^/); 46°34^/+(n˟1°21^/); 46°33^/+(n˟1°21^/);

2. Обчислити середню арифметичну помилку для випадків а) та б) (вважати середньоарифметичне значення, як істинне).

1. Обчислення середньої квадратичної помилки

   1. Обчислити середню квадратичну помилку для випадків а) та б)., порівняти значення середньоквадратичної і середньоарифметичної помилок.

2. Обчислення відносної помилки вимірювань

   1. Обчислити відносні помилки для випадків а) та б). (відносну помилку записати у вигляді дробу 1/v, де v – відношення виміряного значення до абсолютної помилки.

3. Обробка результатів багаторазових рівноточних вимірювань.

   1. Провести обробку результатів багаторазових рівноточних вимірювань лише для варіанту а). Порівняти значення значення середньоквадратичних помилок, що обчислені в пунктах 1.2 і 4.1 цього завдання.