4.3.1 Кинетика процесса фильтрования

Скорость фильтрования (w) – это объемный расход жидкости через единицу поверхности фильтра в единицу времени.

. (4.1)

Фильтрование является гидродинамическим процессом, и его общая теория основывается на законе Дарси, который получил выражение для гидравлического сопротивления пористых тел:

, (4.2)

где w – скорость фильтрационного движения жидкости, м/с;

L – средняя длина пор фильтра, м;

d – средний диаметр пор фильтра, м;

μ – динамическая вязкость, Па·с;

λ – коэффициент пропорциональности.

Коэффициент пропорциональности (λ) в законе Дарси называется коэффициентом фильтрации, или коэффициентом сопротивления Дарси. Для пористых фильтров его выражают в виде:

, (4.3)

где ε – пористость фильтра (отношение объема пор к общему его объему), м²/м³.

Закон Дарси для расхода жидкости через пористый фильтр, образованный сферическими твердыми частицами, можно представить в виде:

, (4.4)

где δ – толщина материала фильтра, мм.

Общее сопротивление фильтра (R) складывается из двух составляющих – из сопротивления фильтровальной перегородки (R_ф) и сопротивления осадка на ней (R_ос).

Согласно единому кинетическому закону скорость фильтрования прямо пропорциональна разности давлений Δр и обратно пропорциональна вязкости жидкости и общему гидравлическому сопротивлению фильтра.

. (4.5)

Приравнивая (4.1) и (4.5), получим основное дифференциальное уравнение фильтрования:

. (4.6)

Выразим величины R_ос и R_ф в виде функции объема фильтрата. Величина R_ос с возрастанием толщины слоя осадка изменяется от нуля в начале фильтрации до максимального значения в конце его. Пренебрегая влиянием гравитационного осаждения на образование осадка, можно считать, что объем осадка V_ос прямо пропорционален объему фильтрата V:

V_oc = х_o·V, (4.7)

где х_о – коэффициент пропорциональности, м³/м³. Его определяют экспериментально как объем осадка, образующегося при прохождении 1 м³ фильтрата.

Объем осадка можно представить как произведение высоты слоя осадка h_ос на площадь фильтрата. Тогда h_ос·F = х_oV, откуда

. (4.8)

Сопротивление слоя осадка можно представить как произведение:

R_ос = r_o· h_ос, (4.9)

где r_o – удельное сопротивление слоя осадка, 1/м². Это сопротивление, оказываемое потоку жидкой фазы слоем осадка толщиной 1 м. Физический смысл: разность давлений, необходимая для того, чтобы жидкая фаза с вязкостью 1 Па·с фильтровалась со скоростью 1 м/с, сквозь слой осадка толщиной 1 м (r_oc = Δp/μh_ocw).

Подставляя в соотношение (4.9) высоту осадка, получим выражение, связывающее сопротивление осадка с объемом фильтрата:

. (4.10)

Перепишем выражение (4.5) с учетом (4.1) и (4.10):

. (4.11)

Решая данное дифференциальное уравнение, можно получить уравнения фильтрования для различных частных случаев.

1. Уравнение фильтрования при постоянной разности давлений:

. (4.12)

Уравнение (4.12) применимо как к несжимаемым осадкам, так и к сжимаемым, поскольку при Δр=const значения r_o и х_о остаются постоянными.

2. Уравнение фильтрования при постоянной скорости:

. (4.13)

3. Уравнение фильтрования при постоянных разности давлений и скорости:

. (4.14)

Уравнение (4.14) применимо для сжимаемых и для несжимаемых осадков.

Для выполнения расчетов по уравнениям (4.12–4.14) необходимо экспериментально определить величины r_o и R_ф, затем х_о, носящие название констант фильтрования.

Введем обозначения:

; (4.15)

. (4.16)

Перепишем уравнения фильтрования с учетом выражений (4.15) и (4.16):

. (4.17)

Это уравнение показывает прямолинейную зависимость функции от аргумента V_уд. Поэтому для графического определения на оси ординат откладывают величину, обратную скорости фильтрования , а по оси абсцисс – объемы фильтрата, собранного с единицы поверхности фильтра (рисунок 4.1).

Рисунок 4.1 – Графическая зависимость

Тангенс угла наклона прямой равен К, а отрезок, отсекаемый на оси ординат, – С.

Для определения этих величин проводят эксперимент на модельном фильтре, в процессе которого замеряют во времени объем полученного фильтрата. Обработкой данных по методу наименьших квадратов рассчитывают К и С, а затем с помощью выражений (4.15) и (4.16) находят r_o и R_ф. Кроме того, в эксперименте замеряют объем осадка на фильтре и рассчитывают х_о по соотношению х_о = V_oc /V.

При фильтровании суспензий, содержащих монодисперсные частицы большого размера (до нескольких мм), значение r_o можно вычислить по уравнению:

. (4.18)

Опытные значения объемов фильтрата V₁ и V₂ за время τ₁ и τ₂ позволяют вычислить константы К и С, решая систему:

(4.19)