4. Построить неприводимое множество функциональных зависимостей…

Пусть дано отношение R с множеством атрибутов (схемой отношения) A, S₁ и S₂ два множества функциональных зависимостей отношения R. Если S₁⁺  S₂⁺, то говорят, что S₂ является покрытием S₁. Для множеств S₁ и S₂, если накладываемые на отношение ограничения S₂ выполняются, то будут выполнять и ограничения S₁.

Если S₁ покрытие S₂, а S₂ является покрытием S₁, т.е. S₁⁺ = S₂⁺, то S₁ и S₂ - эквивалентные множества ФЗ.

Если выполняются ограничения S₁, то и выполняются ограничения S₂ и наоборот.

Множество ФЗ S называется неприводимым тогда и только тогда, когда:

1. Правая (зависимая) часть каждой ФЗ множества S содержит только один атрибут.

2. В левой части каждой ФЗ множества S не может быть опущен ни один атрибут без изменения замыкания S⁺.

3. Ни одна ФЗ в S не может быть опущена из S без изменения S⁺.

Пояснение:

по п.2, т.е. нельзя преобразовать (конвертировать) S с помощью удаления некоторых атрибутов из детерминантов S во множество, эквивалентное S.

по п.2, говорят, что множество S в этом случае неприводимое слева.

по п.3, нельзя конвертировать S путем удаления каких-либо ФЗ из S во множество эквивалентное S.

Смысл преобразования множества S в неприводимое множество, эквивалентное S, в том, чтобы упростить S и увеличить скорость обработки информации в проектируемой информационной системе.

5. Построить один супер – ключ, доказать его уникальность…

Пусть R это отношение с множеством атрибутов (схемой) A. Супер – ключ это подмножество K множества атрибутов A, которое обладает следующим свойством (уникальности): для любого значения отношения R (при любом допустимом наборе кортежей R) не могут существовать два различных кортежа из R все значения атрибутов, имена которых находятся во множестве K, совпадают. Иначе, любое допустимое значение атрибутов, имена которых содержаться в K, может встретиться только у одного кортежа из R, какие бы допустимые кортежи R не содержало. Кроме свойства уникальности, множество K может обладать свойством избыточности. В этом случае множество K, как подмножество содержит множество, не совпадающее с K и обладающее свойством уникальности.

Пусть дано отношение R с множеством атрибутов A, множество функциональных зависимостей S отношения R и подмножество K множества атрибутов A. Чтобы проверить, что K обладает свойством уникальности (т.е. K является супер-ключом) построим замыкание множества атрибутов K. Обозначим замыкание множества атрибутов K через K⁺. Напомним, что K⁺ это множество всех атрибутов из A, которые функционально зависят от K. Т.о. всегда выполняется K → K⁺. Рассмотрим случай, когда K⁺=A. Тогда K → A. По определению ФЗ, если два кортежа совпадают по значениям атрибутов, имена которых содержатся в K, то они совпадают по значениям атрибутов, имена которых содержаться в A. Но A – это все атрибуты отношения R. Следовательно, получаем: если два кортежа из R совпадают по значениям из K, то они совпадают по значениям всех атрибутов. Но тогда, эти два кортежа просто совпадают. Т.к. отношение это множество различимых кортежей, то два одинаковых кортежа в отношении не могут ни когда содержаться одновременно. Следовательно, если K → A, тогда в любом значении отношения R никакие два кортежа не могут совпадать по значению атрибутов из K.