§ 3. Взаимно однозначное соответствие

Определение. Отображением f множества Х в множество Y называется такое соответствие между множествами Х и Y, при котором каждому элементу х  Х соответствует единственный элемент уY.

Определение. Если множество значений отображения f совпадает с множеством прибытия этого отображения, то f называют отображением множества Х на множество Y. В математике такое отображение называется сюръективным.

Определение. Если полный прообраз каждого элемента уY содержит не более одного элемента (может быть и пустым), то такое отображение называется инъективным.

Определение. Отображение, обладающее свойствами инъективности и сюръективности, называется взаимно однозначным.

Другими словами: отображение f множества Х на множество Y называется взаимно однозначным, если двум различным элементам х₁ и х₂ множества Х соответствует два различных элемента у₁ и у ₂ множества Y.

П ример. Х – множество вершин треугольника АВС, Y – множество сторон треугольника АВС.

с а

b

Поставим в соответствие каждой вершине треугольника его сторону, лежащую напротив этой вершины. Данное отображение взаимно однозначно, при этом каждый элемент множества Х имеет единственный образ, а каждый элемент множества Y – единственный прообраз.

§ 4. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества

Определение. Два множества Х и Y равномощны, если существует взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y. (Обозначают: Х  Y).

Пример. Множество сторон четырехугольника и множество его углов.

Понятие равномощности применимо как к конечным, так и к бесконечным множествам.

Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов (равномощные конечные множества называют равночисленными).

Рассмотрим примеры равномощных бесконечных множеств: N – множество натуральных чисел, А – множество четных натуральных чисел (А  N). Каждому натуральному числу поставим в соответствие число, которое больше его в 2 раза:

1 2 3 4 5…

2 4 6 8 10 …

Установленное соответствие взаимно однозначно, т.к. каждому натуральному числу соответствует единственное число из множества Y и наоборот: каждое число из множества Y соответствует единственному натуральному числу. Следовательно, множество натуральных чисел равномощно множеству четных натуральных чисел.

Определение. Бесконечное множество, равномощное множеству натуральных чисел, называется счетным.

Примеры счетных множеств: целых чисел, целых неотрицательных чисел, любое подмножество каждого из этих множеств.

Теорема (без доказательства). Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.

Примеры несчетных множеств: множество всех действительных чисел, множество всех точек на прямой, множество всех точек плоскости.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение декартова произведения множеств.

2. Перечислите способы задания декартова произведения множеств.

3. В каком отношении находятся множества X × Y и Y × X?

4. Что называют соответствием между множествами Х и Y?

5. Какое множество называют областью отправления, областью прибытия, областью определения и множеством значений соответствия?

6. Перечислите способы задания соответствий.

7. Какое соответствие называют отображением множества Х в множество Y; отображением множества Х на множество Y?

8. Какое соответствие называют взаимно однозначным соответствием?

9. Какие множества называют равномощными? В каком случае равномощны конечные множества?

10. Какие множества называют счетными? Приведите примеры счетных и несчетных множеств.