Глава 3. Показательные уравнения и неравенства

Определение: Показательным уравнением (неравенством) называется уравнение (неравенство), в котором неизвестное входит в показатель степени.

При решении показательных уравнений нужно четко знать правила действий со степенями, свойства показательной функции, обратив внимание на то, что областью её определения является множество всех действительных чисел, а областью значений – множество положительных чисел.

При решении многих показательных уравнений нет необходимости делать проверку корней.

Определение: Уравнение вида а^х = в называется простейшим.

Основные методы решения показательных уравнений

I. Простейшие показательные уравнения можно решить способом приведения к одному основанию.

Способ основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо привести к виду:

, отсюда f₁(x) = f₂(x).

ПРИМЕРЫ. Решить уравнения:

а) 4^{х – 2} = 64.

Решение. Преобразуем правую часть уравнения 4^{х – 2} = 4³, откуда х – 2 = 3;

х = 5.

Ответ: 5.

б) 25^{3 – х} = .

Решение. Используя свойство степени (а^m)ⁿ = а^mn, получаем:

25^{3 – х} = (5²)^{3 – х} = 5^{2(3 – х)}.

Так как = 5^{– 1}, то 5^{2(3 – х)} = 5^{– 1}. Степени с одинаковыми основаниями равны, значит, равны их показатели:

2(3 – х) = – 1; 6 – 2х = – 1; –2х = –7, х = – 3,5.

Ответ: – 3,5.

в) 0,37^4-х = 1.

Решение. Представим 1 как 0,37⁰, получаем:

0,37^4–х = 0,37⁰, значит, 4 – х = 0, х = 4.

Ответ: 4.

II. Метод вынесения общего множителя за скобку

ПРИМЕРЫ.

а) 2^{х + 3} – 2^х = 112.

Решение. Преобразуем выражение 2^{х + 3}, используя свойство степени а^{m + n} = a^m  aⁿ, получим 2^х  2³ – 2^х = 112.

Вынесем в левой части уравнения за скобку общий множитель:

2^х(2³ – 1) = 112;

2^х(8 – 1) = 112;

2^х = 112 : 7;

2^х = 16;

2^х = 2⁴;

х = 4.

Ответ: 4.

б) 3^{х + 1} + 3^{х – 1} + 3^{х – 2} = 5^х + 5^{х – 1} + 5^{х – 2}.

Решение. Преобразуем уравнение, вынося в каждой части уравнения степень с наименьшим показателем:

3^{х – 2}(3^{х + 1 – (х – 2)} + 3^{х – 1 – (х – 2)} + 1) = 5^{х – 2}(5^{х – (х – 2)} + 5^{х – 1 – (х – 2)} + 1);

3^{х – 2}(3³ + 3 + 1) = 5^{х – 2}(5² + 5 + 1), откуда 3^{х – 2}  31 = 5^{х – 2}  31.

Поделим обе части уравнения на 31, получим:

3^{х – 2} = 5^{х – 2}.

Поделим обе части уравнения на 5^{х – 2}  0:

; ; х – 2 = 0; х = 2.

Ответ: 2.

III. Способ подстановки

Введение новой переменной (подстановка) обычно производится после преобразования (упрощения) членов уравнения.

ПРИМЕРЫ.

а) 5^2х – 23  5^х = 50.

Решение.

5^2х – 23  5^х = 50;

5^2х – 23  5^х – 50 = 0;

(5^х)² – 23  5^х – 50 = 0.

Пусть 5^х = t, t  0, получим квадратное уравнение:

t² – 23  t – 50 = 0, откуда t₁ = – 2 (является посторонним, т.к. t  0), t₂ = 25. Вернемся с исходной переменной. Итак,

5^х = 25; 5^х = 5², х = 2.

Ответ: 2.

б) 3^{2х – 2} – 6  3^х – 243 = 0.

Решение. Представим уравнение в виде:

;

3^2х – 54  3^х – 2187 = 0.

Предположим, что 3^х = у, придем к квадратному уравнению:

у² – 54у – 2187 = 0, откуда у₁ = 81, у₂ = – 27 (посторонний).

Получили 3^х = 81, или 3^х = 3⁴, откуда х = 4.

Ответ: 4.