Тема 1. Функции одной переменной, их свойства.

Практическая работа №1.

Исследование свойств функции, заданной аналитическим

способом.

Составление функции по тексту задачи.

Цель работы:

Повторить определение функций (одного из самых главных математических понятий), способы, задания, ее виды. Свойства (суть каждого из 12 свойств), исследовать некоторые из них для различных элементарных функций, показать на конкретной текстовой задаче как возникает определенная формула рассматриваемой функции, построить график ее и указать свойства, которыми она обладает.

Работа состоит из двух частей.

I. Теоретический материал для повторения, углубления и систематизации необходимых знаний.

Функцией называется зависимость, между двумя переменными, при которой каждому значению одной независимой переменной (аргументу) ставится в соответствие по некоторому закону, единственное значение другой переменной (значение функции).

Функцию можно задать формулой (аналитически), таблицей (табличный способ), графиком (графический способ).

В основном курсе математики (10-11 класс или первый курс колледжа) изучаются следующие элементарные функции:

- степенная (линейная, квадратическая, кубическая и т.д.),

- показательная и логарифмическая у = ах и у = log ax, если

а > 0, а ≠ 1

- тригонометрические (у = sinx , y = cosx, y = tgx) и обратные тригонометрические (у = arcsinx , y = arccosx, y = arctgx ).

Свойства заданной функции целесообразно рассматривать в следующем порядке: 1) область определения функции; 2) область значений функции; 3) ограниченность функции; 4) вид функции (чётность или нечётность); 5) периодичность функции; 6) нули функции; 7) промежутки знакопостоянства функции;. 8) промежутки монотонности функции; 9) точки экстремума и экстремумы функции; 10) обратимость функции; 11) непрерывность функции; 12) наличие асимптот. Областью определении функции у = f (х) называется область допустимых значений независимой переменной х, т.е. множество таких значений х, при которых функция у = f (х) имеет смысл (определена). Обозначается D (f) Областью значений функции у = f (х) называется множество всех значений зависимой переменной у, которые она может принимать, когда независимая переменная х «пробегает» все свои значения из области определения. Обозначается E (f) Функция у = f (x) называется ограниченной сверху на про­межутке X, если существует такое число М, что f (х) ≤ М для лю­бого x: из этого промежутка. Функция у = f (x) называется ограниченной снизу на промежутке X, если существует такое число т, что f (х) ≥ т для любого х из этого промежутка. Функция у = f ( х) называется ограниченной на промежутке X, если существуют такие числа т и М, что m ≤ f (х) ≤ М. В противном случае функция не­ограниченна.

Функция у = f (х) называется четной, если для любых значе­ний х из ее области определения выполняется равенство f (- x) = f(x), и нечетной, если f ( - х) = - f (х). В противном случае функция y = f (х) называется функцией общего вида.

Функция у = f (х) называется периодической с периодом Т ≠ 0, если для любых х из области определения функции выполня­ется равенство f (х + Т) = f (х).

Нулями функции y = f (х) называются все значения незави­симой переменной, при которых функция обращается в нуль. Для нахождения нулей функции нужно решить уравнение f (х) = 0.

Промежутками знакопостоянства функции у = f (x) назы­ваются промежутки, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения. Для нахождения промежутков знако­постоянства функции нужно решить неравенства f (х) > 0 и f (х) < 0.

Промежутками монотонности функции у = f (x) называют­ся промежутки, на которых функция является возрастающей или убывающей.

Функция y = f (x) называется возрастающей на интервале X, если для любых x ₁ и x ₂, принадлежащих X, таких что х ₁ < х ₂, вы­полняется неравенство f (х ₁) < f(х ₂)

Функция у= f ( х ) называется убывающей на интервале X, если для любых x ₁ и х ₂, принадлежащих X, таких что х ₁<x₂, вы­полняется неравенство f (х ₁)> f (x₂).

Точками экстремума функции у = f ( х ) называются внут­ренние точки области определения, в которых функция меняет свое поведение: в точках максимума - с возрастания на убывание, в точ­ках минимума - с убывания на возрастание. Экстремумами функ­ции у = f (х) называются значения функции в точках экстремума.

Функция у = f ( х) является обратимой, если она строго мо­нотонна на всей области определения. В противном случае она не обратима.

Пример 1. Найти область определения функции f (х) =

Решение. Т.к. дробь существует при условии, что знаменатель не равен нулю, а числитель определён, то для нахождения области оп­ределения данной функции можем записать условия:

2x + 7 ≥0, 2x ≥ - 7, x ≥ -3,5,

x - 2 ≠0 , x ≠ 2, x ≠ 2.

D(f): x є [-3,5;2) U (2;+∞).

Пример 2. Определить, является ли функция f(x)-2x^s + x²- sinx чётной или нечётной.

Решение. Так как f (х) зависит от х⁵, х² и sin x, область определе­ния которых множество всех действительных чисел R, то D (f) = R. Найдём. f(-x).

f(- x) = 2 • (- х)⁵ + (- х)² • sin (- х ) = 2 (х⁵) + х² • (-sin x) =

= -2х⁵-х² • sin x = -(2х⁵ + х² • sin x) =

= -f(x). f(-x) = -f(x) => функция нечётная.

Пример 3. Найти нули функции и промежутки знакопостоянства функции: f(x) = log ₅(2x-1).

Решение. 1) Для нахождения нулей функции надо решить уравне­ние:

f(x) = 0 log₅(2x-l) = 0;

log ₅(2x-1) = log ₅ 1.

Данное уравнение равносильно системе:

2x – 1 = 0, 2x = 2, x – 1,

2x – 1 > 0, 2x > 2, x >

Итак, f (x) = 0 при х = 1.

2) Для определения промежутков знакопостоянства надо

решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0.

Воспользуемся тем, что функция обращается в нуль в точке х = 1, и

1 проверим знаки слева и справа от этой точки, помня, что х >

при х = log₅ (2) • - 1

при х = 3 log (2 • 3 - l) = log₅ 5 = 1 > 0

Следовательно,

f(x)<0 при х є ( );

f(x)>0 при х є (1; + ∞ ).