Свойства арифметического корня

1. Исходя из определения, .

2. .

3. .

4. .

5. .

(Показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножать и делить на одно и то же число, отличное от нуля).

ПРИМЕРЫ.

1. Вычислите:

а) .

Решение.

, т.к. .

,т.к. .

.

б) = 0,1 – (– 0,4) = 0,1 + 0,4 = 0,5.

2. Найдите значение выражения:

а) ;

б) ;

в) .

1.3. Степень с рациональным показателем

1. Степень с целым отрицательным показателем

Если а  0 и n – натуральное число, то .

2. Степень с нулевым показателем

Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице:

а⁰ = 1, а  0.

3. Степень с дробным показателем

Степенью числа а  0 с рациональным показателем , где m – целое число, а n – натуральное (n  1), называется число .

Степень числа 0 определена только для положительных показателей; по определению 0^r = 0 для любого r  0.

Свойства степени с рациональным показателем

Для степени с рациональным показателем справедливы все свойства степени с натуральным показателем, но записываются только для положительных оснований.

ПРИМЕРЫ.

1. Вычислите:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

= 0,2² = 0,04;

д) .

2. Представьте выражение в виде степени:

а) .

Решение. Складывая показатели степеней с одинаковыми основаниями, получим:

.

б) ;

в) ;

4. Степенная функция

Функция, заданная формулой , где α – любое действительное число, называется степенной.

Если α = n, где n – натуральное число, то у = хⁿ определена для любого х R.

Если α = – n, n N, то у = х^{– n} определена для любого х R, х ≠ 0.

Если α – дробное число, то можно также указать и область определения и область значений данной функции.

Примеры:

1. Построить графики функций.

а)

Эта функция кубическая, х Є ( - ∞, ∞). Составим таблицу значений.

х	- 3	- 2	- 1		0		1	2	3
у	- 27	- 8	- 1	-	0		1	8	27

По точкам построим график – кубическую параболу.

а) у =

б) у =

Преобразуем данное выражение:

х Є (0; ∞)

Глава 2. Показательная функция

Определение: Функция, заданная формулой у = а^х (где а  0, а  1), называется показательной функцией с основанием а.

Графики показательных функций для случаев а  1 и 0  а  1 схематично изображены на рисунках.

а ) у б) у

у = а^х у = а^х

а  1 0  а  1

 1  1

0 х 0 х

Рис. 1