8.13. Простейшие тригонометрические уравнения

1. Формула для корней уравнения cos x = a, где –1  а  1, имеет вид:

х =  arccos a + 2к, к  Z.

Частные случаи:

а) cos x = 1, х = 2к, к  Z;

б) cos x = 0, х = + к, к  Z;

в) cos x = – 1, х =  + 2к, к  Z.

ПРИМЕРЫ.

а) cos x = .

х =  arccos + 2n, n  Z;

х =  + 2n, n  Z.

б) cos 5x = .

5x =  arccos + 2n, n  Z;

5x =  + 2n, n  Z;

x =  + n, n  Z.

в) cos 3x = .

3x =  arccos ( ) + 2n, n  Z;

3x =  (  arccos ) + 2n, n  Z;

3x =  (  ) + 2n, n  Z;

3x =   + 2n, n  Z;

x =   + n, n  Z.

г) cos (2x – ) = .

2x – =  arccos ( ) + 2к, к  Z;

2x – =  (  arccos ) + 2к, к  Z;

2x – =  (  ) + 2к, к  Z;

2x – =   + 2к, к  Z;

2x =   + + 2к, к  Z;

x =   + + к, к  Z.

2. Формула для корней уравнения sin x = a, где –1  а  1, имеет вид:

х = (– 1)^к arcsin a + к, к  Z.

Частные случаи:

а) sin x = 0, x = к, к  Z;

б) sin x = 1, х = + 2к, к  Z;

в) sin x = – 1, х = – + 2к, к  Z.

ПРИМЕРЫ.

а) sin x = .

х = (– 1)^к arcsin + к, к  Z;

х = (– 1)^к + к, к  Z.

б) sin .

= (– 1)^к arcsin + к, к  Z;

= (– 1)^к + к, к  Z

x = (– 1)^к + 2к, к  Z.

3. Формула корней уравнения tg x = a имеет вид:

х = arctg a + к, к  Z.

ПРИМЕРЫ.

а) tg x = .

х = arctg + к, к  Z;

x = + к, к  Z.

б) tg x = – .

х = arctg (– ) + n, n  Z;

x = – arctg + n, n  Z;

x = – + n, n  Z.

в) tg x = 5.

x = arctg 5 + к.

4. Формула для корней уравнения ctg x = a имеет вид:

х = arcctg a + n, n  Z.

Решите самостоятельно уравнения.

1. cos x =

________________________________________________________

2. tg 5x = 1

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. 2 cos x – = 0

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. 2 sin x – 1 = 0.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. 2 sin x + = 0.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. tg x + = 0.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. ctg x + 1 = 0.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. sin ( ) = .

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. cos (– 3x) = – .

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. tg (x + ) = .

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

11. 2 sin ( – ) = .

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________