8.10. Преобразование суммы одноименных тригонометрических функций в произведение

sin  + sin  = 2sin cos

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полсуммы двух углов на косинус полразности этих углов.

sin   sin  = 2sin cos

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полразности на косинус полсуммы этих углов.

cos  + cos  = 2cos cos

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полсуммы на косинус полразности этих углов.

cos   cos  = 2sin sin

ПРИМЕРЫ.

1. Вычислите значение выражения без таблиц:

cos 105 + cos 75.

Решение.

cos105 + cos75 = 2cos cos = 2cos90cos15 =

= 2  0  cos15 = 0.

2. Упростите выражение:

.

Решение.

= = = tg .

3. Упростите выражение:

.

Решение.

= =

= = = = tg2.

Решите самостоятельно.

1. Вычислите без таблиц:

а) sin105  sin75

б) sin  + sin 

2. Преобразуйте в произведение:

а) sin 9 + sin

б) sin 6  sin 2

д) sin( + 15) + sin( – 15)

3. Упростите выражения:

а)

б)

8.11. Преобразование произведения тригонометрических

функций в сумму

sin   cos  = [ sin ( + ) + sin (  ) ]

Произведение синуса одного угла на косинус другого равно полусумме синуса суммы и синуса разности этих углов.

cos   cos  = [ cos ( + ) + cos (  ) ]

Произведение косинусов двух углов равно полусумме косинуса суммы и косинуса разности этих углов.

sin   sin  = [ cos (  )  cos ( + ) ]

Произведение синусов двух углов равно полразности косинуса разности и косинуса суммы этих углов.

ПРИМЕРЫ.

1. Вычислите, не пользуясь таблицами:

sin 3730  sin 730.

Решение.

sin3730  sin730 = [cos(3730  730) – cos(3730 + 730)] =

= (cos30  cos45) = ( ) = .

2. Данные произведения представьте в виде суммы:

а) cos 17  cos 3.

Решение.

cos17 cos3= [cos(17+ 3) + cos(17 3)] = (cos20+cos14)

б) sin(x + )  cos(x – ) = [sin(x +  + x  )+sin (x +   x + )] =

= [sin2x + sin 2]

8.12. Решение тригонометрических уравнений. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс

Определение: Арксинусом числа а называется такое число из отрезка , синус которого равен а, т.е.

–  arcsin a 

sin (arcsin a) = a

Помни, что arcsin (– a) = – arcsin a.

ПРИМЕРЫ. Вычислите:

а) arcsin .

arcsin = , так как sin = и  .

б) arcsin .

arcsin = –arcsin = , т.к. sin( ) = – sin = и  .

1. Вычислите:

а) 3 arcsin + arctg (–1) + 2 arccos

б) arcsin (– ) – arccos + 5 arctg ( )

в) – 3 arccos (– ) + 5 arccos – 4 arcctg ( )