8.7. Преобразование тригонометрических выражений

Используя основные тригонометрические тождества, выполни самостоятельно следующие задания:

1. Заполни пропуски, чтобы получилось верное равенство:

2. Установи истинность или ложность следующих высказываний:

а) 1 + tg2 =
б) tg  + ctg  = 1
в) sin2 + cos2 = 1
г)

3. Могут ли одновременно выполняться равенства:

а) sin  = и cos  =

б) tg  = 4 и ctg  = 0,25

в) cos  = и ctg  =

8.8. Формулы приведения

Определение: Формулами приведения называются формулы, выражающие тригонометрические формулы углов , , и через тригонометрические функции угла .

Предлагаем правило для запоминания формул приведения:

1. Если аргумент (угол) приводимой тригонометрической функции имеет вид (180  ), (360  ) или в радианной мере (  ), (2  ), то название приводимой функции не меняется.

Если аргумент приводимой тригонометрической функции имеет вид (90  ), (270  ) или в радианной мере (  ), (   ), то название приводимой функции меняется на сходственное: синус переходит в косинус и наоборот, тангенс переходит в котангенс и наоборот.

2. Знак в правой части формулы приведения пишется в зависимости от того, какой знак имеет приводимая функция в данной координатной четверти.

ПРИМЕРЫ.

1. sin 100 = sin (90 + 10) = cos 10. Угол 100 лежит во второй четверти, где синус положителен.

2. tg 135 = tg (90 + 45) = – ctg 45 = – 1.

3. ctg ( ) = – tg .

4. Найдите числовое значение выражения:

–sin570+ cos150 + tg315 = –sin(360+210)+ cos(90+60) + + tg(360 – 45) = –sin210 – sin60 – tg45 = –sin(180 + 30) –

– = sin30 – – 1 = = 2.

8.9. Формулы сложения или теоремы сложения

1. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:

sin( + ) = sincos + sincos,

sin(  ) = sincos  sincos.

2. Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:

cos( + ) = coscos  sinsin,

cos(  ) = coscos + sinsin.

3. Формулы тангенса суммы и разности двух аргументов:

tg( + ) = ,

tg() = .

Следствия:

1. sin2 = 2sincos

2. cos2 = cos² – sin² = 1 – 2sin² = 2cos² – 1

3. tg2 =

ПРИМЕРЫ.

1. Вычислите значение выражения.

а) sin  cos + cos  sin .

Решение.

sin cos + cos sin = sin ( ) = sin  =

= sin = 0.

б) cos cos – sin sin = cos ( + ) = cos =

= cos = – 1.

2. Упростите выражение

а) .

Решение.

= =

= = =

= = tg (  ).

б) .

Решение.

= = =

= = tg .

Решите самостоятельно.

1. Упростите выражение:

sin( + ) + sin(  )

2. Упростите выражение:

3. Упростите выражение:

4. Упростите выражение:

5. Упростите выражение:

6. Упростите выражение:

=

7. Упростите выражение:

=

8. Вычислите:

2(cos 8cos 37 – sin 37sin 8)

9. Вычислите:

=