
- •Учебное пособие
- •Предисловие
- •Тема 1. Функции одной переменной, их свойства.
- •II. Составление функции по тексту задачи
- •Глава 1. Обобщение понятия степени
- •Степень с натуральным показателем
- •Свойства степени с натуральным показателем
- •Корни n-ой степени. Свойства корней
- •Свойства арифметического корня
- •Свойства степени с рациональным показателем
- •Степенная функция
- •Глава 2. Показательная функция
- •Свойства показательной функции
- •Глава 3. Показательные уравнения и неравенства
- •I. Простейшие показательные уравнения можно решить способом приведения к одному основанию.
- •II. Метод вынесения общего множителя за скобку
- •III. Способ подстановки
- •IV. Способ почленного деления
- •Основные методы решения показательных неравенств
- •Глава 4. Логарифмы и их свойства
- •Глава 5. Логарифмическая функция
- •Глава 6. Логарифмические уравнения
- •Основные методы решения логарифмических уравнений
- •Глава 7. Логарифмические неравенства
- •Глава 8. Тригонометрические функции числового аргумента
- •8.1. Углы и их измерение
- •8.2. Определение тригонометрических функций любого угла
- •8.3. Основные тригонометрические тождества
- •8.4. Некоторые свойства тригонометрических функций. Знаки тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости
- •8.5. Значения тригонометрических функций некоторых
- •8.6. Вычисление значений всех тригонометрических функций по заданному значению одной из них
- •8.7. Преобразование тригонометрических выражений
- •8.8. Формулы приведения
- •8.9. Формулы сложения или теоремы сложения
- •8.10. Преобразование суммы одноименных тригонометрических функций в произведение
- •8.11. Преобразование произведения тригонометрических
- •8.12. Решение тригонометрических уравнений. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс
- •8.13. Простейшие тригонометрические уравнения
- •8.14. Решение тригонометрических уравнений,
- •8.15. Решение однородных тригонометрических уравнений
- •Литература
- •Содержание
- •Дахневич Тамара Федоровна математика
- •40010, Г. Волгоград, ул. Качинцев, 63
Глава 7. Логарифмические неравенства
Определение: Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим.
При решении логарифмических неравенств следует помнить, что логарифмическая функция у= logаx является возрастающей при а 1 и убывающей при 0 а 1. Поэтому из неравенства logax logay следует, что х у, если а 1, и х у, если 0 а 1. При потенцировании обеих частей неравенства по основанию а знак неравенства сохраняется прежним, если а 1, и изменяется на противоположный, если 0 а 1. При решении логарифмических неравенств следует помнить о том, что областью определения логарифмической функции является множество положительных чисел.
ПРИМЕРЫ. Решить неравенства:
а) log5(2x – 1) 2
Решение. Заметив, что 2 = log525, перепишем неравенство в виде:
log5(2x – 1) log525.
Учитывая, что неравенство имеет смысл при 2х – 1 0 (область определения логарифмической функции множество всех положительных чисел), и потенцируя обе части неравенства по основанию а = 5 1, придем к системе, равносильной данному неравенству:
х
13.
Ответ: (13;+).
б) lg(x – 1) +lg(x – 2) < lg(x+ 2)
Решение. Заменим в левой части уравнения сумму логарифмов логарифмом произведения.
lg(x – 1)(x – 2) < lg(x + 2).
Так как функция y = lg t возрастающая (а = 10, а > 1) и D(log) = R+, то данное неравенство равносильно системе неравенств:
Решим отдельно второе неравенство методом интервалов:
х2 – 4х 0;
х(х – 4) 0;
х(х – 4) =0;
х = 0 или х – 4 = 0
х = 4
+ – +
0 2 4 х
х (0; 4), но х 2, поэтому х (2; 4).
Ответ: (2; 4) или 2 х 4.
в) log22x – log2x 6.
Решение. log22x – log2x – 6 0.
Так как логарифмы существуют только для положительных чисел, утверждаем х 0.
Сделаем замену переменной t = log2x, получим
t2 – t – 6 0; решим неравенство методом интервалов:
t2 – t – 6 = 0;
t1 = – 2; t2 = 3.
+ – +
– 2 3 t
– 2 t 3.
Переходим к исходной переменной:
2 log2x 3.
Заметим,
что 3 = log28 и –2 =
log2
,
получим:
log2 log2х log28.
Учитывая, что функция y = log2t возрастающая и D(log) = R+, получим систему неравенств:
Ответ: [ ;8].
Глава 8. Тригонометрические функции числового аргумента
8.1. Углы и их измерение
Определение: Фигура, состоящая из двух лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости, называется углом.
За единицу
измерения углов принимают угол в 1 градус
–
часть развёрнутого угла. Существует
ещё одна единица измерения величины
угла – 1 радиан.
Обобщенным углом (углом поворота) называется плоская фигура, образованная лучами, выходящими из одной точки, называемой вершиной угла, причем указано, какой из этих лучей считается первым (начальной стороной угла) и как его вращать до совпадения со вторым (конечной стороной угла).
При таком определении угла его величина рассматривается как мера поворота конечной стороны относительно начальной.
Положительным направлением вращения считается вращение против часовой стрелки, а отрицательным – по движению часовой стрелки.
Определение: Угол в 1 радиан есть центральный угол, опирающийся на такую дугу окружности, длина которой равна радиусу этой окружности.
Определение: Единичная окружность (тригонометрический круг) – окружность с центром в начале координат, радиус которой равен единице.
Длина окружности содержит 2 радиуса, следовательно,
360 = 2 (рад),
180 = (рад).
1 радиан =
1
=
радиана
Полезно пользоваться таблицей часто встречающихся величин углов в градусах в радианы и обратно.
А° |
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
180° |
270° |
360° |
α |
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
Начальное положение луча совпадает с направлением у оси ох.
Положение точки А на единичной окружности соответствует и величине угла (дуги). В 0°, и 360°, 720° и т.д. т.е. 0, 2, 4, 6 и т.д. радиан.