10.2. Корреляционный анализ взаимосвязей
При анализе корреляционных зависимостей решаются две практические задачи: во-первых, выяснение формы связи; во-вторых, измерение силы (тесноты) связи, т. е. степень ее приближения к функциональной связи.
Установление формы связи производится путем соответствующей обработки фактического материала и составления уравнения корреляционной связи. Тесноту связи оценивают на основе расчета специальных показателей: коэффициента корреляции, индекса корреляции или корреляционного отношения.
Тип уравнения выбирается на основе теоретического анализа исходных фактических данных. В большинстве случаев связи в обще- ственных явлениях изучаются по уравнению прямой
y = a + bx,
где y – результативный признак;
x – факторный признак;
a – свободный член уравнения;
b – коэффициент регрессии, который характеризует, на сколько в среднем изменяется величина результативного признака (y) с изменением факторного признака (x) на единицу.
Найти теоретическое уравнение связи – значит определить параметры прямой (или кривой). Параметры находят способом наименьших квадратов, который дает следующую систему нормальных уравнений для нахождения параметров прямой:
,
где n – численность единиц совокупности.
Решая систему этих уравнений, находим следующие показатели:
Если изучаемая совокупность и условия достаточно типичны, то коэффициент регрессии может быть использован для прогнозирования.
Коэффициент регрессии применяют для определения коэффициента эластичности, который показывает, на сколько процентов изменится величина результативного признака (y) при изменении факторного признака (x) на 1 %.
Для определения коэффициента эластичности используется формула
,
где yx – уровень по линии регрессии, рассчитанный на основе уравнения связи (регрессии).
Для измерения тесноты линейной связи применяется относительный показатель, который называется линейным коэффициентом корреляции (r). Он исчисляется по следующей формуле:
.
Линейный коэффициент показывает не только тесноту, но и направление связи. Его значение изменяется от –1 до +1. Если коэффициент корреляции имеет знак «минус», значит связь обратная, если имеет знак «плюс», то связь прямая. Близость к единице в том и другом случае характеризует близость к функциональной (полной) зависимости.
Зная линейный коэффициент корреляции, можно определить коэффициент регрессии в уравнении y = a + bx по следующей формуле:
.
Рассмотрим расчет коэффициентов регрессии, линейного коэффициента корреляции и коэффициента детерминации на примере (табл. 34).
Пример 1. Имеются следующие данные о товарообороте и расходах на реализацию организаций.
Таблица 34
Органи- зация |
Товаро- оборот, усл. ед. (х) |
Расходы на реализацию, усл. ед. (у) |
xy |
x2 |
y2 |
Выравненные значения расходов на реализацию, усл. ед. (ух) |
1-я |
282,7 |
47,3 |
13371,7 |
79919,3 |
2237,3 |
46,4 |
2-я |
222,8 |
37,2 |
8288,2 |
49639,8 |
1383,8 |
37,2 |
3-я |
95,5 |
15,7 |
1499,4 |
9120,3 |
246,5 |
17,6 |
4-я |
297,0 |
48,1 |
14285,7 |
88209,0 |
2313,6 |
48,6 |
5-я |
421,0 |
68,0 |
28628,0 |
177241,0 |
4624,0 |
67,7 |
6-я |
208,4 |
33,8 |
7043,9 |
43430,6 |
1142,4 |
34,9 |
7-я |
246,2 |
39,2 |
9651,0 |
60614,4 |
1536,6 |
40,8 |
8-я |
378,1 |
59,5 |
22496,9 |
142959,6 |
3540,3 |
61,1 |
9-я |
468,1 |
76,1 |
35622,4 |
219117,6 |
5791,2 |
74,9 |
10-я |
157,6 |
31,4 |
4948,6 |
24837,8 |
986,0 |
27,1 |
Итого |
2777,4 |
456,3 |
145835,8 |
895089,4 |
23801,7 |
456,3 |
Связь между расходами на реализацию (y) и товарооборотом (x) можно представить в виде прямой yx = a + bx.
Параметры уравнения а и b находятся по способу наименьших квадратов путем решения следующей системы двух нормальных уравнений:
В таблице рассчитываем x, y, xy, x2, y2.
Полученные значения подставляем в уравнения и решаем их следующим образом:
Вычитая из одного уравнения другое, получаем следующее:
6,87 = 44,54b.
Находим значение параметра b:
b = 6,87 : 44,54 = 0,154.
Находим значение параметра a:
52,5 = a + 49,6;
a = 52,5 – 49,6 = 2,9.
Составляем уравнение связи между товарооборотом и расходами на реализацию в стоимостном выражении yx = 2,9 + 0,154x.
Коэффициент регрессии (b = 0,154) характеризует, что с увеличением товарооборота на 1 усл. ед. расходы на реализацию будут увеличиваться в среднем на 0,154 усл. ед.
Подставив в это уравнение конкретные значения товарооборота (х), найдем выравненные значения расходов на реализацию для всех организаций.
Например, для первой организации Yх = 2,9 + 0,154282,7 = 46,4 усл. ед. и т. д.
Суммы фактических и теоретических значений расходов на реализацию практически совпадают (456,3 и 456,2). Расхождение значений является результатом округления.
Рассчитаем линейный коэффициент корреляции по данным примера 1. Информацию о x, y, xy, x2, y2 возьмем из табл. 34.
Расчет произведем по следующей формуле:
Линейный коэффициент корреляции составляет 0,995.
Данная величина свидетельствует о весьма тесной связи между товарооборотом и расходами на реализацию.
Коэффициент детерминации (r2) равен 0,9952 = 0,99, или 99 %. Это означает, что удельный вес влияния товарооборота в общей сумме факторов, определяющих расходы на реализацию, составляет 99 %.
На остальные факторы, влияющие на расходы на реализацию, при- ходится 1 %.