Требования, предъявляемые

к статистическим оценкам.

Для одного и того же параметра а можно построить разные формулы оценки.

m_x (среднее)

оценки:

1. 

2. 

3. (без x_max и x_min)

4. x₁ (при проведении одного опыта)

Как построить формулу оценки, чтобы она как можно лучше отражала

Требования к формуле (к статистической оценке):

1. несмещенность :

(3) Математическое ожидание оценки должно совпадать с оцениваемым параметром.

2. Эффективность:

Эффективной называется статистическая оценка с минимальной дисперсией.

(4)

3. Состоятельность (для выборок большого объема):

Оценка называетсясостоятельной, если с ростом объема выборки дисперсия оценки стремится к нулю.

(5)

Точечные статистические оценки для

математического ожидания и дисперсии

1. Точечной оценкой для m_x является выборочное среднее

(6)

1. Несмещенность :

2. Эффективность: можно проверить, что из всех предложенных формул у формулы (6) дисперсия наименьшая.

3. Состоятельность:

2. Оценка для дисперсии: - ?

Возьмем в качестве оценки D_x D_в

1. Несмещенность :

Поместим начало координат в точку m_x. Тогда:

,

0

nD_x

Вывод: оценка дисперсии D_x по D_в – это смещенная оценка.

Несмещенной оценкой для дисперсии является т.н. исправленная выборочная дисперсия:

(7) – это оценка несмещенная.

(8)

3. Оценка для среднеквадратического отклонения: - это исправленное выборочное среднеквадратическое S.

(9)

(10)

Замечание: смещенность и исправление дисперсии коэффициентом n/n-1 играют роль только для выборок малого объема.

Метод моментов.

Если параметры распределения не являются одновременно числовыми характеристиками этого распределения, то для их отыскания применяются специальные методы:

1. метод моментов;

2. метод наибольшего правдоподобия.

По выборке оцениваются теоретические начальные и центральные моменты с помощью статистических начальных и центральных моментов.

Например: ,

Теоретические моменты выражаем через параметры распределения и приравниваем к статистическим оценкам.

Например:

1. 

(λ) (11)

2. 

(a;b)

(12)

3. 

По выборке оценим параметр p:

(13)

4. Предполагаем, что распределение подчиняется параболической зависимости:

Нужно оценивать a,b,c. Подсчитаем по предполагаемым формулам m_x, D_x, M₃.

Решаем систему и находим оценки для a, b, c т.е. .

Интервальные оценки распределения.

Полученные в предыдущем параграфе оценки называются точечными.

доверительный интервал

Попробуем оценить погрешность от замены истинного значения параметра а на приближенное , найденное по выборке, т.е. величину отклонения а от.- с.в. Построим интервал, оценим вероятность того, что этим случайным интервалом мы накроем истинное значение параметра а, т.е..

Интервал называетсядоверительным интервалом. Вероятность того, что параметр а окажется в этом интервале называется доверительной вероятностью (надежностью) статической оценки.

(14)

Чем больше размах интервала δ, тем больше вероятность γ. Нужно установить связь между ними.